Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função . Isso significa que vamos derivar essa função em relação a cada uma das variáveis , , e separadamente. Para isso, precisamos saber como derivar funções de múltiplas variáveis e aplicar as regras básicas de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Vamos começar derivando a função em relação a . Quando derivamos em relação a uma variável, tratamos as outras como constantes. Então, , e são constantes aqui.
A função é . Derivando em relação a :
Porque a derivada de em relação a é 1, e as outras partes permanecem iguais.

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a . Aqui, , e são constantes. Precisamos usar a regra do produto e a regra da cadeia porque está presente em múltiplos termos.
Primeiro, derivamos em relação a :
Depois, derivamos em relação a :
Aplicando a regra do produto:

Passo 4

Agora vamos derivar em relação a . Aqui, , e são constantes. A derivada envolve apenas o termo .
Derivando em relação a :

Passo 5

Por último, vamos derivar em relação a . Aqui, , e são constantes. Novamente, usamos a regra da cadeia porque está dentro da função .
Derivando em relação a :
Então, aplicando isso à função:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:

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Encontre as derivadas des seguintes funcoès:
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Calcule as derivadas parciais indicadas. e
Seja . Determine: ;