Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função
. Isso significa que vamos derivar essa função em relação a cada uma das variáveis
,
,
e
separadamente. Para isso, precisamos saber como derivar funções de múltiplas variáveis e aplicar as regras básicas de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Vamos começar derivando a função em relação a
. Quando derivamos em relação a uma variável, tratamos as outras como constantes. Então,
,
e
são constantes aqui.
A função é
. Derivando em relação a
:
Porque a derivada de
em relação a
é 1, e as outras partes permanecem iguais.
Passo 3
Agora, vamos derivar em relação a
. Aqui,
,
e
são constantes. Precisamos usar a regra do produto e a regra da cadeia porque
está presente em múltiplos termos.
Primeiro, derivamos
em relação a
:
Depois, derivamos
em relação a
:
Aplicando a regra do produto:
Passo 4
Agora vamos derivar em relação a
. Aqui,
,
e
são constantes. A derivada envolve apenas o termo
.
Derivando em relação a
:
Passo 5
Por último, vamos derivar em relação a
. Aqui,
,
e
são constantes. Novamente, usamos a regra da cadeia porque
está dentro da função
.
Derivando
em relação a
:
Então, aplicando isso à função:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função
são:
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Encontre as derivadas des seguintes funcoès:
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Calcule as derivadas parciais indicadas.
e
Seja
. Determine:
;