Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
(n) f(x, y)=integraly^x cos (t)^2 d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos as derivadas parciais de primeira ordem da função . Vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas parciais e o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais definidas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de partial fpartial x = cos(x)^2 em relação a , ou seja, . Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, se temos uma função definida por uma integral com limites dependentes de , a derivada em relação a é simplesmente a função integranda avaliada em .
Então:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de partial fpartial y = -cos(y)^2 em relação a , . De novo, usando o Teorema Fundamental do Cálculo, mas como está no limite inferior, temos que lembrar que a derivada em relação ao limite inferior traz um sinal negativo.
Então:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
partial fpartial x = cos(x)^2
partial fpartial y = -cos(y)^2

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