Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar as derivadas parciais de primeira ordem da função:
Aqui, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais e propriedades dos logaritmos e de funções compostas. Precisaremos aplicar a regra da cadeia e a derivação de funções logarítmicas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo para facilitar a derivação. Observe que:
Podemos multiplicar numerador e denominador por
para racionalizar:
Mas isso complica mais, então vamos manter a forma original e aplicar a derivada diretamente.
Passo 3
Vamos chamar a função dentro do logaritmo de
, ou seja:
A derivada da função logaritmo é:
Então precisamos encontrar
e
.
Passo 4
Vamos calcular
:
onde
Aplicando a regra do quociente:
Calculando as derivadas:
Substituindo:
Simplificando:
Então:
Passo 5
Agora, vamos calcular
:
Usando a mesma expressão para
:
Calculando as derivadas:
Substituindo:
Passo 6
Agora, substituímos
e
na expressão das derivadas de
:
Lembrando que
, então:
Mas podemos simplificar mais. Notando que
, a expressão final fica:
E para
:
Simplificando:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
Exercícios relacionados
Determine o volume do sólido formado pela região abaixo do plano
e acima do plano xy e está no primeiro quadrante.
Esboce o domínio da função
em cada um dos casos a seguir.
.
Esboce o domínio da função
em cada um dos casos a seguir.
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Encontre o comprimento da hélice circular
,
do ponto
e
. Solução: sqrt(2)