Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
f(x, y) = ln((raiz(x^2 + y^2) - x) / (raiz(x^2 + y^2) + x)).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar as derivadas parciais de primeira ordem da função:
Aqui, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais e propriedades dos logaritmos e de funções compostas. Precisaremos aplicar a regra da cadeia e a derivação de funções logarítmicas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo para facilitar a derivação. Observe que:
Podemos multiplicar numerador e denominador por para racionalizar:
Mas isso complica mais, então vamos manter a forma original e aplicar a derivada diretamente.

Passo 3

Vamos chamar a função dentro do logaritmo de , ou seja:
A derivada da função logaritmo é:
Então precisamos encontrar e .

Passo 4

Vamos calcular :
onde
Aplicando a regra do quociente:
Calculando as derivadas:
Substituindo:
Simplificando:
Então:

Passo 5

Agora, vamos calcular :
Usando a mesma expressão para :
Calculando as derivadas:
Substituindo:

Passo 6

Agora, substituímos e na expressão das derivadas de :
Lembrando que , então:
Mas podemos simplificar mais. Notando que , a expressão final fica:
E para :
Simplificando:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:

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