Encontre o comprimento da hélice circular
,
do ponto
e
. Solução: sqrt(2)
Passo 1
Então, vamos resolver um problema de cálculo de comprimento de curva! A gente precisa encontrar o comprimento da hélice circular definida pela função entre os pontos
e
. Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco de uma curva no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que a hélice é uma curva tridimensional que dá a volta em torno de um cilindro. A função descreve essa hélice onde
varia de 0 a
para ir de
a
.
Passo 3
Para calcular o comprimento da hélice, usamos a fórmula do comprimento de arco de uma curva paramétrica:
Aqui,
e
são os valores de
correspondentes aos pontos
e
.
Passo 4
Vamos encontrar as derivadas das componentes de
:
Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do comprimento de arco.
Passo 5
Substituindo na integral:
Simplificando dentro da raiz:
Sabemos que , então:
Passo 6
Agora, a integral fica simples:
Resposta
O comprimento da hélice é
.