Encontre o comprimento da hélice circular , do ponto e . Solução: sqrt(2)

Passo 1

Então, vamos resolver um problema de cálculo de comprimento de curva! A gente precisa encontrar o comprimento da hélice circular definida pela função entre os pontos e . Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco de uma curva no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a hélice é uma curva tridimensional que dá a volta em torno de um cilindro. A função descreve essa hélice onde varia de 0 a para ir de a .

Passo 3

Para calcular o comprimento da hélice, usamos a fórmula do comprimento de arco de uma curva paramétrica:
Aqui, e são os valores de correspondentes aos pontos e .

Passo 4

Vamos encontrar as derivadas das componentes de :
Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do comprimento de arco.

Passo 5

Substituindo na integral:
Simplificando dentro da raiz:
Sabemos que , então:

Passo 6

Agora, a integral fica simples:

Resposta

O comprimento da hélice é .

Exercícios relacionados

Esboce o domínio da função em cada um dos casos a seguir.
.
Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
.
Pra os itens a seguir considere a função .
Justifique que a imagem de é .
Encontre o vetor tangente à circunferência de raio 2, centrada na origem. Obtenha no ponto (sqrt(2), sqrt(2))