Encontre o comprimento da hélice circular F(t) = (cos(t), sen(t)), t do ponto A = (1, 0, 0) e B = (-1, 0, pi). Solução: sqrt(2) pi

Passo 1

Então, vamos resolver um problema de cálculo de comprimento de curva! A gente precisa encontrar o comprimento da hélice circular definida pela função entre os pontos e . Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco de uma curva no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a hélice é uma curva tridimensional que dá a volta em torno de um cilindro. A função descreve essa hélice onde varia de 0 a t para ir de pi a A.

Passo 3

Para calcular o comprimento da hélice, usamos a fórmula do comprimento de arco de uma curva paramétrica:
Aqui, a e b são os valores de t correspondentes aos pontos A e B.

Passo 4

Vamos encontrar as derivadas das componentes de F(t):
Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do comprimento de arco.

Passo 5

Substituindo na integral:
Simplificando dentro da raiz:
Sabemos que , então:

Passo 6

Agora, a integral fica simples:

Resposta

O comprimento da hélice é raiz(2) * pi.

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