Encontre o comprimento da hélice circular F(t) = (cos(t), sen(t)), t do ponto A = (1, 0, 0) e B = (-1, 0, pi). Solução: sqrt(2) pi

Passo 1

Então, vamos resolver um problema de cálculo de comprimento de curva! A gente precisa encontrar o comprimento da hélice circular definida pela função entre os pontos e . Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco de uma curva no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a hélice é uma curva tridimensional que dá a volta em torno de um cilindro. A função descreve essa hélice onde varia de 0 a t para ir de pi a A.

Passo 3

Para calcular o comprimento da hélice, usamos a fórmula do comprimento de arco de uma curva paramétrica:
Aqui, a e b são os valores de t correspondentes aos pontos A e B.

Passo 4

Vamos encontrar as derivadas das componentes de F(t):
Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do comprimento de arco.

Passo 5

Substituindo na integral:
Simplificando dentro da raiz:
Sabemos que , então:

Passo 6

Agora, a integral fica simples:

Resposta

O comprimento da hélice é raiz(2) * pi.

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Esboce o domínio da função f em cada um dos casos a seguir.
f(x, y, z) = raiz(x^2 + y^2 + z^2 - 16).
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Pra os itens a seguir considere a função f(x, y) = raiz(y^2 - x^2 + 1).
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