Determine o volume do sólido formado pela região abaixo do plano
e acima do plano xy e está no primeiro quadrante.
Passo 1
Vamos entender o problema. Queremos encontrar o volume do sólido que está abaixo do plano
, acima do plano
(ou seja,
), e no primeiro quadrante. Para resolver isso, vamos usar cálculo integral.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar
em termos de
e
. A equação do plano é
, então isolando
:
Passo 3
Agora, precisamos determinar os limites de integração para
e
no primeiro quadrante. No primeiro quadrante,
e
. Além disso, como
, temos:
Passo 4
Vamos definir os limites de integração para
.
varia de 0 até 2. Para cada valor de
,
varia de 0 até
.
Passo 5
O volume
pode ser calculado pela integral dupla:
Passo 6
Vamos calcular a integral interna em relação a
:
Substituindo os limites:
Passo 7
Agora, a integral se torna:
Passo 8
Vamos expandir
:
Então, a integral fica:
Passo 9
Calculando na faixa de 0 a 2:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Esboce o domínio da função
em cada um dos casos a seguir.
.
Seja
a parte do paraboloide
que está acima do plano
. Calcule
fluxo do campo vetorial
através de S .
Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
.
Esboce o domínio da função
em cada um dos casos a seguir.
.