Determine o volume do sólido formado pela região abaixo do plano x + y + z = 2 e acima do plano xy e está no primeiro quadrante.

Passo 1

Vamos entender o problema. Queremos encontrar o volume do sólido que está abaixo do plano , acima do plano (ou seja, ), e no primeiro quadrante. Para resolver isso, vamos usar cálculo integral.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar em termos de e . A equação do plano é , então isolando :

Passo 3

Agora, precisamos determinar os limites de integração para e no primeiro quadrante. No primeiro quadrante, e . Além disso, como , temos:

Passo 4

Vamos definir os limites de integração para . varia de 0 até 2. Para cada valor de , varia de 0 até .

Passo 5

O volume pode ser calculado pela integral dupla:

Passo 6

Vamos calcular a integral interna em relação a :
Substituindo os limites:

Passo 7

Agora, a integral se torna:

Passo 8

Vamos expandir :
Então, a integral fica:

Passo 9

Calculando na faixa de 0 a 2:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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f(x, y, z) = ln(1 - x^2 - y^2 + z^2).
Seja S a parte do paraboloide z = 2 - x^2 - y^2 que está acima do plano z = 1. Calcule o fluxo do campo vetorial F(x, y, z) = (x, y, z) / ((x^2 + y^2 + z^2)^(3/2)) através de S .
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f(x, y) = ln((raiz(x^2 + y^2) - x) / (raiz(x^2 + y^2) + x)).
Esboce o domínio da função f em cada um dos casos a seguir.
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