Esboce o domínio da função
em cada um dos casos a seguir.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que esboçar o domínio da função
. Isso faz parte do conteúdo de funções de várias variáveis e vamos precisar entender o que determina o domínio dessa função.
Passo 2
Primeiro, é importante lembrar que o domínio de uma função são todos os valores de entrada (neste caso,
) para os quais a função está bem definida. No nosso caso, temos uma raiz quadrada.
Passo 3
Sabemos que dentro de uma raiz quadrada, a expressão tem que ser maior ou igual a zero para evitar números imaginários. Então, vamos garantir que o que está dentro da raiz seja maior ou igual a zero:
Passo 4
Agora, vamos isolar os termos quadráticos:
Isso significa que a soma dos quadrados de
e
tem que ser pelo menos 16.
Passo 5
Geometricamente, a expressão
representa uma esfera com raio
centrada na origem. No nosso caso, temos:
Então, estamos falando de uma esfera de raio 4.
Passo 6
A inequação
descreve todos os pontos que estão fora ou na superfície dessa esfera de raio 4. Ou seja, qualquer ponto cuja distância da origem seja igual ou maior que 4.
Resposta
O domínio da função
é todo o espaço tridimensional que está fora ou sobre a esfera de raio 4 centrada na origem, ou seja, todos os pontos
tais que
.
Exercícios relacionados
Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
.
Determine o volume do sólido formado pela região abaixo do plano
e acima do plano xy e está no primeiro quadrante.
Encontre o comprimento da hélice circular
,
do ponto
e
. Solução: sqrt(2)
Pra os itens a seguir considere a função
.
Justifique que a imagem de é
.
Justifique que a imagem de