Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas parciais juntos! A questão pede para a gente encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função . Isso significa que vamos calcular como muda em relação a e em relação a , mantendo a outra variável constante. Para isso, vamos usar as regras de derivação de funções com variáveis exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Como é tratado como uma constante quando derivamos em relação a , podemos pensar em como uma função de com um expoente constante.
A regra que vamos usar aqui é a derivada de , onde é uma constante, que é .
Aplicando isso à nossa função:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Nesse caso, é tratado como uma constante, e a função é uma exponencial onde a base é e o expoente é .
Para derivar em relação a , podemos reescrever a função usando logaritmos para facilitar:
Agora, aplicamos a regra da cadeia:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
e

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