Racionalize o denominador de cada fração:

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para racionalizar o denominador da fração . Aqui, a gente está trabalhando com a matéria de racionalização de denominadores, que é uma técnica usada para eliminar raízes do denominador das frações. Para isso, vamos precisar lembrar como multiplicar numerador e denominador pela raiz que está no denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração inicial. Na fração , tanto o numerador quanto o denominador têm um fator de 2. Vamos dividir ambos por 2 para facilitar a conta:

Passo 3

Agora, nosso objetivo é eliminar a raiz do denominador. Para fazer isso, vamos multiplicar tanto o numerador quanto o denominador pela raiz que está no denominador, que no caso é . Esse processo é chamado de racionalização.

Passo 4

Vamos multiplicar a fração por . É importante multiplicar por esse valor porque , ou seja, não estamos alterando o valor da fração, apenas a forma dela:

Passo 5

Agora, vamos resolver a multiplicação no denominador. Sabemos que , porque a raiz quadrada de um número multiplicada por ela mesma dá o número original:

Resposta

A fração racionalizada é .

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Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.