Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função. u = x * y * arcsen(y * z)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas parciais! A gente tem a função e precisa encontrar as derivadas parciais de primeira ordem em relação a e a . Vamos usar as regras de derivação de funções multivariáveis e entender como aplicar a cadeia e o produto aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , que a gente denota por . Como e são tratadas como constantes quando derivamos em relação a , a derivada fica mais simples.
A função pode ser vista como . Aqui, é como uma constante multiplicando .

Passo 3

Aplicando a regra do produto, a derivada de em relação a será simplesmente essa constante, já que a derivada de em relação a é 1. Então:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Aqui, tanto quanto dependem de , então precisamos usar a regra do produto e a regra da cadeia.
A função é . Vamos considerar e como duas funções que a gente vai multiplicar.

Passo 5

Aplicando a regra do produto:
Como não depende de , . Então, simplificamos para:

Passo 6

Agora, precisamos derivar em relação a . Vamos usar novamente a regra do produto:
A derivada de em relação a usa a regra da cadeia. Sabemos que:
Então,

Passo 7

Substituindo de volta:
Portanto,

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
e

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