Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas parciais! A gente tem a função e precisa encontrar as derivadas parciais de primeira ordem em relação a
e a
. Vamos usar as regras de derivação de funções multivariáveis e entender como aplicar a cadeia e o produto aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, que a gente denota por
. Como
e
são tratadas como constantes quando derivamos em relação a
, a derivada fica mais simples.
A função
pode ser vista como . Aqui, é como uma constante multiplicando
.
Passo 3
Aplicando a regra do produto, a derivada de
em relação a
será simplesmente essa constante, já que a derivada de
em relação a
é 1. Então:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Aqui, tanto
quanto dependem de
, então precisamos usar a regra do produto e a regra da cadeia.
A função
é . Vamos considerar
e como duas funções que a gente vai multiplicar.
Passo 5
Aplicando a regra do produto:
Como
não depende de
,
. Então, simplificamos para:
Passo 6
Agora, precisamos derivar em relação a
. Vamos usar novamente a regra do produto:
A derivada de em relação a
usa a regra da cadeia. Sabemos que:
Então,
Passo 7
Substituindo de volta:
Portanto,
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
e
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Nas seguintes equações encontre outra solução distinta à solução dada no problema.
(d) inteiro nãonegativo
. Se
é uma segunda solução, calcule
para
e
.
(d)
Encontre a soma
dos
primeiros termos das seguintes séries:
Determine a diferencial da função.