Encontre a soma
dos
primeiros termos das seguintes séries:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a soma
dos primeiros
termos da série:
Aqui, estamos trabalhando com séries que envolvem logaritmos naturais. Para resolver isso, vamos usar propriedades dos logaritmos e identificar se a série possui alguma característica especial que facilite a soma.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os termos da série. Cada termo é dado por:
Isso pode ser simplificado usando a propriedade dos logaritmos que diz que:
Aplicando isso ao nosso termo, temos:
Passo 3
Agora, vamos escrever a soma dos primeiros
termos usando essa simplificação:
Isso significa:
Passo 4
Observe que muitos termos se cancelam nessa soma. Vamos ver isso mais de perto:
-
cancela com -
cancela com - E assim por diante, até o penúltimo termo.
Só ficam sobrando os primeiros e os últimos termos que não têm com o que cancelar:
Passo 5
Sabemos que
porque qualquer logaritmo de base
de 1 é zero. Portanto, simplificando:
Então, finalmente:
Resposta
A soma dos
primeiros termos da série é
.
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