Encontre a soma Sn dos n primeiros termos das seguintes séries:
(i) sumn=1^infty ln (n+1n)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a soma sumk=1^n ln (k+1k) dos primeiros termos da série:
Aqui, estamos trabalhando com séries que envolvem logaritmos naturais. Para resolver isso, vamos usar propriedades dos logaritmos e identificar se a série possui alguma característica especial que facilite a soma.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os termos da série. Cada termo é dado por:
ln (k+1k)
Isso pode ser simplificado usando a propriedade dos logaritmos que diz que:
ln (ab) = ln(a) - ln(b)
Aplicando isso ao nosso termo, temos:
ln(k+1) - ln(k)

Passo 3

Agora, vamos escrever a soma dos primeiros Sn = sumk=1^n [ ln(k+1) - ln(k) ] termos usando essa simplificação:
Sn = [ ln(2) - ln(1) ] + [ ln(3) - ln(2) ] + [ ln(4) - ln(3) ] + dots + [ ln(n+1) - ln(n) ]
Isso significa:

Passo 4

Observe que muitos termos se cancelam nessa soma. Vamos ver isso mais de perto:
  • Sn = ln(n+1) - ln(1) cancela com
  • cancela com
  • E assim por diante, até o penúltimo termo.
Só ficam sobrando os primeiros e os últimos termos que não têm com o que cancelar:

Passo 5

Sabemos que Sn = ln(n+1) - 0 porque qualquer logaritmo de base Sn = ln(n+1) de 1 é zero. Portanto, simplificando:
Então, finalmente:

Resposta

A soma dos primeiros termos da série é .

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