Suponha que alpha e beta sejam curvas diferenciáveis, c em R e f: R -> R uma função real diferenciável. Então,
(f) d/dt[alpha(f(t))] = f'(t) alpha'(f(t))

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: nos pedem para calcular a derivada de uma composição de funções, especificamente . Aqui, trabalharemos com derivadas de funções compostas, utilizando o conteúdo de Cálculo Diferencial. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a regra da cadeia. Essa regra nos ajuda a derivar funções compostas, ou seja, funções dentro de outras funções. Se temos uma função , a regra da cadeia nos diz que a derivada de g em relação a t é o produto da derivada de alpha em relação a f(t) e a derivada de f em relação a t.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia à nossa função , temos:
Aqui, é a derivada de alpha avaliada em f(t), e é a derivada de f em relação a t.

Passo 4

Rearranjando os termos, podemos escrever:
Isso confirma a expressão que queríamos provar.

Resposta

Exercícios relacionados