Suponha que
e
sejam curvas diferenciáveis,
e
uma função real diferenciável. Então,
(f)
(f)
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: nos pedem para calcular a derivada de uma composição de funções, especificamente
. Aqui, trabalharemos com derivadas de funções compostas, utilizando o conteúdo de Cálculo Diferencial. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a regra da cadeia. Essa regra nos ajuda a derivar funções compostas, ou seja, funções dentro de outras funções. Se temos uma função
, a regra da cadeia nos diz que a derivada de
em relação a
é o produto da derivada de
em relação a
e a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia à nossa função
, temos:
Aqui,
é a derivada de
avaliada em
, e
é a derivada de
em relação a
.
Passo 4
Rearranjando os termos, podemos escrever:
Isso confirma a expressão que queríamos provar.
Resposta
Exercícios relacionados
Se a força que age sobre a partícula é conhecida, então a aceleração pode ser determinada a partir da Segunda Lei de Newton para o Movimento. A versão vetorial dessa lei nos diz que, se em qualquer instante de tempo
, uma força
age sobre um objeto de massa
produzindo uma aceleração
, então
.
Um objeto de massa que se move em uma trajetória circular com velocidade angular constante
tem vetor posição dado por
. Determine a força que age sobre o objeto e mostre que sua direção e sentido são dados pela reta que passa pela origem, apontando em direção à origem. Essa força é chamada força centrípeta.
Um objeto de massa
Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
Encontre os pontos da curva onde a tangente é horizontal:
(b)
(b)