Suponha que e sejam curvas diferenciáveis, e uma função real diferenciável. Então,
(f)

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: nos pedem para calcular a derivada de uma composição de funções, especificamente . Aqui, trabalharemos com derivadas de funções compostas, utilizando o conteúdo de Cálculo Diferencial. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a regra da cadeia. Essa regra nos ajuda a derivar funções compostas, ou seja, funções dentro de outras funções. Se temos uma função , a regra da cadeia nos diz que a derivada de em relação a é o produto da derivada de em relação a e a derivada de em relação a .

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia à nossa função , temos:
Aqui, é a derivada de avaliada em , e é a derivada de em relação a .

Passo 4

Rearranjando os termos, podemos escrever:
Isso confirma a expressão que queríamos provar.

Resposta

Exercícios relacionados

Se a força que age sobre a partícula é conhecida, então a aceleração pode ser determinada a partir da Segunda Lei de Newton para o Movimento. A versão vetorial dessa lei nos diz que, se em qualquer instante de tempo , uma força age sobre um objeto de massa produzindo uma aceleração , então .
Um objeto de massa que se move em uma trajetória circular com velocidade angular constante tem vetor posição dado por . Determine a força que age sobre o objeto e mostre que sua direção e sentido são dados pela reta que passa pela origem, apontando em direção à origem. Essa força é chamada força centrípeta.
Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
Encontre os pontos da curva onde a tangente é horizontal:
(b)