Determine as derivadas das parciais de primeira ordem da função z=x^y+xy
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função $ z = x^y + xy $. Isso está ligado ao conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente às derivadas parciais. Para isso, vamos precisar lembrar como derivar funções em relação a uma variável mantendo a outra constante.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de $ z $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial z}{\partial x} $. Isso significa que vamos tratar $ y $ como uma constante e derivar em relação a $ x $.
A função é $ z = x^y + xy $. Vamos derivar cada termo separadamente:
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Derivada de $ x^y $ em relação a $ x $:Aqui, usamos a regra da potência, onde a derivada de $ x^n $ é $ n \cdot x^{n-1} $.
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Derivada de $ xy $ em relação a $ x $:Já que $ y $ é constante, a derivada de $ x $ é 1, então multiplicamos por $ y $.
Então, juntando as duas derivadas:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de $ z $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial z}{\partial y} $. Aqui, tratamos $ x $ como constante e derivamos em relação a $ y $.
A função é $ z = x^y + xy $. Vamos derivar cada termo:
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Derivada de $ x^y $ em relação a $ y $:Isso porque a derivada de $ a^y $ em relação a $ y $ é $ a^y \ln(a) $.
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Derivada de $ xy $ em relação a $ y $:Aqui, $ x $ é constante, então a derivada de $ y $ é 1, multiplicando por $ x $.
Então, juntando as duas derivadas:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função $ z = x^y + xy $ são:
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