Determine as derivadas das parciais de primeira ordem da função z=x^y+xy

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função $ z = x^y + xy $. Isso está ligado ao conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente às derivadas parciais. Para isso, vamos precisar lembrar como derivar funções em relação a uma variável mantendo a outra constante.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de $ z $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial z}{\partial x} $. Isso significa que vamos tratar $ y $ como uma constante e derivar em relação a $ x $.
A função é $ z = x^y + xy $. Vamos derivar cada termo separadamente:
  1. Derivada de $ x^y $ em relação a $ x $:
    z
    Aqui, usamos a regra da potência, onde a derivada de $ x^n $ é $ n \cdot x^{n-1} $.
  2. Derivada de $ xy $ em relação a $ x $:
    x
    Já que $ y $ é constante, a derivada de $ x $ é 1, então multiplicamos por $ y $.
Então, juntando as duas derivadas:
partial zpartial x

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de $ z $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial z}{\partial y} $. Aqui, tratamos $ x $ como constante e derivamos em relação a $ y $.
A função é $ z = x^y + xy $. Vamos derivar cada termo:
  1. Derivada de $ x^y $ em relação a $ y $:
    z
    Isso porque a derivada de $ a^y $ em relação a $ y $ é $ a^y \ln(a) $.
  2. Derivada de $ xy $ em relação a $ y $:
    y
    Aqui, $ x $ é constante, então a derivada de $ y $ é 1, multiplicando por $ x $.
Então, juntando as duas derivadas:
partial zpartial y

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função $ z = x^y + xy $ são:
z = x^y + xy
e
partial zpartial x = y cdot x^y-1 + y

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