Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função
. Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável, onde a gente olha como a função muda em relação a uma variável de cada vez, mantendo as outras constantes. Para resolver, vamos precisar saber como derivar funções com mais de uma variável.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Isso significa que tratamos
e
como constantes e derivamos apenas em relação a
.
A função é:
Derivando termo a termo em relação a
:
-
derivado em relação a é (já que é constante). -
derivado em relação a é . -
não contém , então sua derivada é 0.
Então:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Aqui, tratamos
e
como constantes e derivamos apenas em relação a
.
Derivando termo a termo:
-
derivado em relação a é . -
derivado em relação a é . -
derivado em relação a é .
Então:
Passo 4
Por fim, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Aqui, tratamos
e
como constantes e derivamos apenas em relação a
.
Derivando termo a termo:
-
não contém , então sua derivada é 0. -
também não contém , então sua derivada é 0. -
derivado em relação a é .
Então:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
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Determine o limite, se existir, ou justifique o porquê do limite não existir:
Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo:
O método esquematizado no Problema 30 pode ser usado para qualquer equação homogênea, isto É, a substituição
transforma uma equação homogênea em uma equação separável. Essa última pode ser resolvida por integração direta, e a substituição de
por
, depois, fornece a solução da equação original. Nos problemas de 31 a 38 :
(b) Resolva a equação diferencial.
(b) Resolva a equação diferencial.
Resolva o problema de valor inicial
onde