Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função . Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável, onde a gente olha como a função muda em relação a uma variável de cada vez, mantendo as outras constantes. Para resolver, vamos precisar saber como derivar funções com mais de uma variável.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Isso significa que tratamos e como constantes e derivamos apenas em relação a .
A função é:
Derivando termo a termo em relação a :
  • derivado em relação a é (já que é constante).
  • derivado em relação a é .
  • não contém , então sua derivada é 0.
Então:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Aqui, tratamos e como constantes e derivamos apenas em relação a .
Derivando termo a termo:
  • derivado em relação a é .
  • derivado em relação a é .
  • derivado em relação a é .
Então:

Passo 4

Por fim, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Aqui, tratamos e como constantes e derivamos apenas em relação a .
Derivando termo a termo:
  • não contém , então sua derivada é 0.
  • também não contém , então sua derivada é 0.
  • derivado em relação a é .
Então:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:

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Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo:
O método esquematizado no Problema 30 pode ser usado para qualquer equação homogênea, isto É, a substituição transforma uma equação homogênea em uma equação separável. Essa última pode ser resolvida por integração direta, e a substituição de por , depois, fornece a solução da equação original. Nos problemas de 31 a 38 :
(b) Resolva a equação diferencial.
Resolva o problema de valor inicial
onde