Resolva o problema de valor inicial
onde
Passo 1
Vamos resolver o problema de valor inicial dado pela equação diferencial
onde a função
é definida por:
Vamos usar o método das equações lineares de primeira ordem para resolver este problema. Precisaremos encontrar a solução da equação diferencial em dois intervalos distintos: de
a
e para
.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial no intervalo
, onde
. A equação fica:
Esta é uma equação linear de primeira ordem que pode ser resolvida usando um fator integrante.
Passo 3
Calculamos o fator integrante
:
Multiplicamos a equação diferencial original por
:
Isso simplifica para:
Passo 4
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração. Resolvendo para
:
Passo 5
Aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Então, a solução no intervalo
é:
Passo 6
Agora, resolvemos a equação diferencial para
, onde
:
Usamos novamente o fator integrante para resolver esta equação.
Passo 7
Calculamos o fator integrante
:
Multiplicamos a equação diferencial por
:
Isso simplifica para:
Passo 8
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração. Resolvendo para
:
Passo 9
Para encontrar
, usamos a continuidade da função
em
:
Igualando as duas expressões:
Então, a solução para
é:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
Exercícios relacionados
O método esquematizado no Problema 30 pode ser usado para qualquer equação homogênea, isto É, a substituição
transforma uma equação homogênea em uma equação separável. Essa última pode ser resolvida por integração direta, e a substituição de
por
, depois, fornece a solução da equação original. Nos problemas de 31 a 38 :
(b) Resolva a equação diferencial.
(b) Resolva a equação diferencial.
Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo: