Resolva o problema de valor inicial
onde

Passo 1

Vamos resolver o problema de valor inicial dado pela equação diferencial
onde a função é definida por:
Vamos usar o método das equações lineares de primeira ordem para resolver este problema. Precisaremos encontrar a solução da equação diferencial em dois intervalos distintos: de a e para .

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial no intervalo , onde . A equação fica:
Esta é uma equação linear de primeira ordem que pode ser resolvida usando um fator integrante.

Passo 3

Calculamos o fator integrante :
Multiplicamos a equação diferencial original por :
Isso simplifica para:

Passo 4

Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração. Resolvendo para :

Passo 5

Aplicamos a condição inicial para encontrar :
Então, a solução no intervalo é:

Passo 6

Agora, resolvemos a equação diferencial para , onde :
Usamos novamente o fator integrante para resolver esta equação.

Passo 7

Calculamos o fator integrante :
Multiplicamos a equação diferencial por :
Isso simplifica para:

Passo 8

Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração. Resolvendo para :

Passo 9

Para encontrar , usamos a continuidade da função em :
Igualando as duas expressões:
Então, a solução para é:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

Exercícios relacionados

O método esquematizado no Problema 30 pode ser usado para qualquer equação homogênea, isto É, a substituição transforma uma equação homogênea em uma equação separável. Essa última pode ser resolvida por integração direta, e a substituição de por , depois, fornece a solução da equação original. Nos problemas de 31 a 38 :
(b) Resolva a equação diferencial.
Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo: