Determine o limite, se existir, ou justifique o porquê do limite não existir:
Passo 1
Neste exercício, queremos determinar o limite da função
quando
se aproxima de
. Vamos utilizar conceitos de limites de funções de várias variáveis e verificar se o limite existe analisando diferentes caminhos de aproximação.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o limite ao longo do caminho onde
. Substituindo
por
na função, temos:
Passo 3
Agora, vamos analisar o limite ao longo do caminho onde
. Substituindo
por
na função, obtemos:
À medida que
se aproxima de
,
tende ao infinito. Isso indica que, ao longo deste caminho, o limite não é finito e cresce sem limite.
Resposta
Como os limites ao longo dos caminhos
e
resultam em valores diferentes (1 e infinito, respectivamente), o limite
não existe.
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O método esquematizado no Problema 30 pode ser usado para qualquer equação homogênea, isto É, a substituição
transforma uma equação homogênea em uma equação separável. Essa última pode ser resolvida por integração direta, e a substituição de
por
, depois, fornece a solução da equação original. Nos problemas de 31 a 38 :
(b) Resolva a equação diferencial.
(b) Resolva a equação diferencial.