Determine o limite, se existir, ou justifique o porquê do limite não existir:
lim (x, y) (0,0) x^2+yx^2+y^2

Passo 1

Neste exercício, queremos determinar o limite da função x^2 + yx^2 + y^2 quando (x, y) se aproxima de (0,0). Vamos utilizar conceitos de limites de funções de várias variáveis e verificar se o limite existe analisando diferentes caminhos de aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o limite ao longo do caminho onde y = 0. Substituindo y por 0 na função, temos:
limx to 0 x^2 + 0x^2 + 0^2 = limx to 0 x^2x^2 = limx to 0 1 = 1

Passo 3

Agora, vamos analisar o limite ao longo do caminho onde x = 0. Substituindo x por 0 na função, obtemos:
limy to 0 0^2 + y0^2 + y^2 = limy to 0 yy^2 = limy to 0 1y
À medida que y se aproxima de 0, 1y tende ao infinito. Isso indica que, ao longo deste caminho, o limite não é finito e cresce sem limite.

Resposta

Como os limites ao longo dos caminhos y = 0 e x = 0 resultam em valores diferentes (1 e infinito, respectivamente), o limite
lim (x, y) (0,0) x^2 + yx^2 + y^2
não existe.

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