Determine o limite, se existir, ou justifique o porquê do limite não existir:

Passo 1

Neste exercício, queremos determinar o limite da função quando se aproxima de . Vamos utilizar conceitos de limites de funções de várias variáveis e verificar se o limite existe analisando diferentes caminhos de aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o limite ao longo do caminho onde . Substituindo por na função, temos:

Passo 3

Agora, vamos analisar o limite ao longo do caminho onde . Substituindo por na função, obtemos:
À medida que se aproxima de , tende ao infinito. Isso indica que, ao longo deste caminho, o limite não é finito e cresce sem limite.

Resposta

Como os limites ao longo dos caminhos e resultam em valores diferentes (1 e infinito, respectivamente), o limite
não existe.

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O método esquematizado no Problema 30 pode ser usado para qualquer equação homogênea, isto É, a substituição transforma uma equação homogênea em uma equação separável. Essa última pode ser resolvida por integração direta, e a substituição de por , depois, fornece a solução da equação original. Nos problemas de 31 a 38 :
(b) Resolva a equação diferencial.