O método esquematizado no Problema 30 pode ser usado para qualquer equação homogênea, isto É, a substituição transforma uma equação homogênea em uma equação separável. Essa última pode ser resolvida por integração direta, e a substituição de por , depois, fornece a solução da equação original. Nos problemas de 31 a 38 :
(b) Resolva a equação diferencial.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a equação diferencial dada por:
O enunciado menciona que podemos usar o método para equações homogêneas, ou seja, aquelas onde cada termo é de grau igual quando considerado em relação a e . Para resolver esse tipo de equação, vamos usar a substituição , que transforma a equação homogênea em uma equação separável, facilitando a resolução por integração.

Passo 2

Vamos fazer a substituição . Com isso, precisamos encontrar em termos de e . Aplicando a regra do produto:
Substituímos e na equação diferencial original:

Passo 3

Vamos simplificar o lado direito da equação:
Agora, a equação fica:

Passo 4

Vamos isolar o termo :
Simplificando o lado direito:

Passo 5

A equação agora é:
Podemos reescrever essa equação como:

Passo 6

Agora, separaremos as variáveis e :

Passo 7

Vamos integrar ambos os lados. Primeiro, precisamos simplificar a fração à esquerda. Observamos que o denominador pode ser fatorado:
Portanto, a integral se torna:

Passo 8

Para integrar o lado esquerdo, vamos decompor a fração em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por :
Vamos encontrar os valores de e :
Para :
Para :
Portanto:

Passo 9

Agora, podemos integrar:
Integrando cada termo:
onde é a constante de integração.

Passo 10

Vamos simplificar a expressão:
Podemos multiplicar toda a equação por 3 para eliminar os denominadores:
Podemos reescrever como:
Exponenciando ambos os lados:
onde é uma nova constante.

Passo 11

Lembrando que fizemos a substituição , substituímos de volta:
Simplificando:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é a constante de integração.

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onde