O método esquematizado no Problema 30 pode ser usado para qualquer equação homogênea, isto É, a substituição
transforma uma equação homogênea em uma equação separável. Essa última pode ser resolvida por integração direta, e a substituição de
por
, depois, fornece a solução da equação original. Nos problemas de 31 a 38 :
(b) Resolva a equação diferencial.
(b) Resolva a equação diferencial.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a equação diferencial dada por:
O enunciado menciona que podemos usar o método para equações homogêneas, ou seja, aquelas onde cada termo é de grau igual quando considerado em relação a
e
. Para resolver esse tipo de equação, vamos usar a substituição
, que transforma a equação homogênea em uma equação separável, facilitando a resolução por integração.
Passo 2
Vamos fazer a substituição
. Com isso, precisamos encontrar
em termos de
e
. Aplicando a regra do produto:
Substituímos
e
na equação diferencial original:
Passo 3
Vamos simplificar o lado direito da equação:
Agora, a equação fica:
Passo 4
Vamos isolar o termo
:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
A equação agora é:
Podemos reescrever essa equação como:
Passo 6
Agora, separaremos as variáveis
e
:
Passo 7
Vamos integrar ambos os lados. Primeiro, precisamos simplificar a fração à esquerda. Observamos que o denominador
pode ser fatorado:
Portanto, a integral se torna:
Passo 8
Para integrar o lado esquerdo, vamos decompor a fração em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
:
Vamos encontrar os valores de
e
:
Para
:
Para
:
Portanto:
Passo 9
Agora, podemos integrar:
Integrando cada termo:
onde
é a constante de integração.
Passo 10
Vamos simplificar a expressão:
Podemos multiplicar toda a equação por 3 para eliminar os denominadores:
Podemos reescrever como:
Exponenciando ambos os lados:
onde
é uma nova constante.
Passo 11
Lembrando que fizemos a substituição
, substituímos de volta:
Simplificando:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.
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onde