Determine o limite, se existir, ou justifique o porquê do limite não existir:

Passo 1

O enunciado pede para determinar o limite da função quando se aproxima de . Estamos trabalhando com limites em cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos analisar o comportamento da função ao nos aproximarmos de por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular o limite de uma função de duas variáveis. Diferente das funções de uma variável, onde há apenas um caminho para se aproximar do ponto, nas funções de duas variáveis podemos nos aproximar pelo eixo x, pelo eixo y, ou por qualquer linha reta ou curva. Se o limite for o mesmo por todos os caminhos possíveis, então o limite existe. Caso contrário, o limite não existe.

Passo 3

Vamos testar alguns caminhos diferentes para ver se o limite é o mesmo:
  • Caminho 1: y = 0
    Substituindo por na função:
    Então, pelo caminho , o limite é .
  • Caminho 2: x = 0
    Substituindo por na função:
    Então, pelo caminho , o limite é .

Passo 4

Observamos que os limites obtidos pelos caminhos e são diferentes ( e , respectivamente). Isso significa que o limite da função não é o mesmo em todos os caminhos que se aproximam de . Portanto, podemos concluir que o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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Mostrar que os seguintes limites não existem:
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Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo:
Mostrar que os seguintes limites não existem: