Mostrar que os seguintes limites não existem:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o limite
não existe. Isso está dentro do conteúdo de limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, a gente precisa analisar o comportamento dessa função quando
se aproxima de
por diferentes caminhos. Se obtivermos resultados diferentes por caminhos distintos, concluímos que o limite não existe.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar o caminho onde
. Ou seja, estamos nos aproximando de
ao longo do eixo
.
Substituindo
na função, temos:
Então, ao longo desse caminho, o limite é:
Passo 3
Agora, vamos considerar um caminho diferente. Que tal
? Assim, estamos aproximando
de uma curva específica.
Substituindo
na função, temos:
Então, ao longo desse caminho, o limite é:
Passo 4
Agora, vamos comparar os resultados obtidos nos dois caminhos diferentes:
- Ao longo de
, o limite é 1. - Ao longo de
, o limite é .
Como os limites são diferentes dependendo do caminho escolhido, isso significa que o limite geral não existe.
Resposta
O limite
não existe.
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