Mostrar que os seguintes limites não existem:
lim (x, y) (0,0) x^3x^3+y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o limite
lim (x, y) (0,0) x^3x^3+y^2
não existe. Isso está dentro do conteúdo de limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, a gente precisa analisar o comportamento dessa função quando se aproxima de por diferentes caminhos. Se obtivermos resultados diferentes por caminhos distintos, concluímos que o limite não existe.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar o caminho onde f(x, 0) = x^3x^3+0^2 = x^3x^3 = 1 . Ou seja, estamos nos aproximando de lim x 0 f(x, 0) = 1 ao longo do eixo .
Substituindo na função, temos:
Então, ao longo desse caminho, o limite é:

Passo 3

Agora, vamos considerar um caminho diferente. Que tal f(x, x^32) = x^3x^3 + (x^32)^2 = x^3x^3 + x^3 = x^32x^3 = 12 ? Assim, estamos aproximando lim x 0 f(x, x^32) = 12 de uma curva específica.
Substituindo na função, temos:
Então, ao longo desse caminho, o limite é:

Passo 4

Agora, vamos comparar os resultados obtidos nos dois caminhos diferentes:
  • Ao longo de , o limite é 1.
  • Ao longo de , o limite é .
Como os limites são diferentes dependendo do caminho escolhido, isso significa que o limite geral não existe.

Resposta

O limite
lim (x, y) (0,0) x^3x^3+y^2
não existe.

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