Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função
. Isso está dentro do conteúdo de cálculo, especificamente de derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar usar a regra da cadeia, que ajuda a derivar funções compostas, e também entender como trabalhar com potências e raízes.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação. Sabemos que
pode ser escrita como
. Então:
Agora, queremos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, que é
.
Passo 3
Vamos aplicar a regra da cadeia. Se temos uma função composta como
, sua derivada é
. No nosso caso,
e
.
Então:
Passo 4
Agora, vamos derivar
em rela��ão a
. Lembrando que
é tratado como constante quando derivamos em relação a
:
Passo 5
Substituindo de volta na expressão da derivada parcial:
Passo 6
Simplificando os termos:
Que pode ser reescrito como:
Passo 7
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, que é
. O processo é bem parecido com o que fizemos para
.
Reescrevendo a função:
Aplicando a regra da cadeia:
Derivando
em relação a
:
Substituindo de volta:
Simplificando:
E reescrevendo de forma mais clara:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
e
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