Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo:
f(x, y)=raiz[3]x^3+y^3+3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função . Isso está dentro do conteúdo de cálculo, especificamente de derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar usar a regra da cadeia, que ajuda a derivar funções compostas, e também entender como trabalhar com potências e raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação. Sabemos que f(x, y) = (x^3 + y^3 + 3)^1/3 pode ser escrita como . Então:
Agora, queremos encontrar a derivada parcial de em relação a , que é .

Passo 3

Vamos aplicar a regra da cadeia. Se temos uma função composta como partial fpartial x = 13 cdot (x^3 + y^3 + 3)^13 - 1 cdot partialpartial x(x^3 + y^3 + 3) , sua derivada é . No nosso caso, e .
Então:

Passo 4

Agora, vamos derivar partial upartial x = 3x^2 em rela��ão a . Lembrando que é tratado como constante quando derivamos em relação a :

Passo 5

Substituindo de volta na expressão da derivada parcial:
partial fpartial x = 13 cdot (x^3 + y^3 + 3)^-23 cdot 3x^2

Passo 6

Simplificando os termos:
partial fpartial x = x^2 cdot (x^3 + y^3 + 3)^-23
Que pode ser reescrito como:
partial fpartial x = x^2(x^3 + y^3 + 3)^23

Passo 7

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de f(x, y) = (x^3 + y^3 + 3)^1/3 em relação a partial fpartial y = 13 cdot (x^3 + y^3 + 3)^-23 cdot partialpartial y(x^3 + y^3 + 3) , que é partial upartial y = 3y^2 . O processo é bem parecido com o que fizemos para partial fpartial y = 13 cdot (x^3 + y^3 + 3)^-23 cdot 3y^2 .
Reescrevendo a função:
partial fpartial y = y^2 cdot (x^3 + y^3 + 3)^-23
Aplicando a regra da cadeia:
partial fpartial y = y^2(x^3 + y^3 + 3)^23
Derivando em relação a :
Substituindo de volta:
Simplificando:
E reescrevendo de forma mais clara:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
partial fpartial x = x^2(x^3 + y^3 + 3)^23
e
partial fpartial y = y^2(x^3 + y^3 + 3)^23

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