Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a questão que pede para encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função
. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar funções com variáveis múltiplas e aplicar a regra da potência.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função é
. Quando derivamos uma função da forma
em relação a
, a derivada é
.
Aplicando isso aqui:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Para derivar em relação a
, tratamos
e
como constantes. Usamos a propriedade de derivação de funções exponenciais com base variável:
Isso porque a derivada de
em relação a
é
.
Passo 4
Por fim, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Aqui, derivamos em relação a
, tratando
e
como constantes. Usamos a mesma regra de derivação de exponenciais:
Simplificando:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função
são:
Exercícios relacionados
Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo.
O volume de um cone circular reto com raio
e altura
é
. Suponha que
cm . O que leva a um aumento maior em
, um aumento de
ou um aumento de 1 cm em
? Argumente usando derivadas parciais.
A Lei dos Gases Ideais afirma que
, onde
é a pressão,
é o volume,
é uma constante de proporcionalidade, e
é a temperatura absoluta. Mostre que
A temperatura em qualquer ponto
de uma placa de aço é
, onde
e
são medidos em metros. No ponto (2,3), encontre as taxas de variação da temperatura em relação às distâncias percorridas ao longo da placa nas direções dos eixos
e
.