A Lei dos Gases Ideais afirma que P V=k T, onde P é a pressão, V é o volume, k é uma constante de proporcionalidade, e T é a temperatura absoluta. Mostre que
partial Tpartial P cdot partial Ppartial V cdot partial Vpartial T=-1

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a Lei dos Gases Ideais, que diz que , onde é a pressão, é o volume, é uma constante, e é a temperatura absoluta. A tarefa é mostrar que o produto das derivadas parciais é igual a . Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e relacionamentos entre variáveis dependentes.

Passo 2

Vamos começar reescrevendo a Lei dos Gases Ideais para facilitar a manipulação das variáveis. A equação é:
P V = k T
Isso significa que depende de e , depende de e , e depende de e .

Passo 3

Para encontrar V + P partial Vpartial P = k partial Tpartial P , vamos tratar V = k partial Tpartial P implies partial Tpartial P = Vk como constante. Diferenciando ambos os lados da equação em relação a :
Como é constante, . Assim, temos:

Passo 4

Agora, vamos encontrar P + V partial Ppartial V = k partial Tpartial V . Tratando P = - V partial Ppartial V implies partial Ppartial V = -PV como constante, diferenciamos a equação original em relação a :
Como é constante, . Então:

Passo 5

Por fim, vamos calcular P partial Vpartial T = k partial Tpartial T = k . Tratando partial Vpartial T = kP como constante, diferenciamos a equação original em relação a :
Portanto:

Passo 6

Agora, vamos multiplicar as três derivadas parciais que encontramos:
partial Tpartial P cdot partial Ppartial V cdot partial Vpartial T = ( Vk ) cdot ( -PV ) cdot ( kP )
Simplificando os termos:
Vk cdot -PV cdot kP = -1

Resposta

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