A Lei dos Gases Ideais afirma que
, onde
é a pressão,
é o volume,
é uma constante de proporcionalidade, e
é a temperatura absoluta. Mostre que
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a Lei dos Gases Ideais, que diz que
, onde
é a pressão,
é o volume,
é uma constante, e
é a temperatura absoluta. A tarefa é mostrar que o produto das derivadas parciais
é igual a
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e relacionamentos entre variáveis dependentes.
Passo 2
Vamos começar reescrevendo a Lei dos Gases Ideais para facilitar a manipulação das variáveis. A equação é:
Isso significa que
depende de
e
,
depende de
e
, e
depende de
e
.
Passo 3
Para encontrar
, vamos tratar
como constante. Diferenciando ambos os lados da equação em relação a
:
Como
é constante,
. Assim, temos:
Passo 4
Agora, vamos encontrar
. Tratando
como constante, diferenciamos a equação original em relação a
:
Como
é constante,
. Então:
Passo 5
Por fim, vamos calcular
. Tratando
como constante, diferenciamos a equação original em relação a
:
Portanto:
Passo 6
Agora, vamos multiplicar as três derivadas parciais que encontramos:
Simplificando os termos:
Resposta
Exercícios relacionados
Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo.
Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo.
A temperatura em qualquer ponto
de uma placa de aço é
, onde
e
são medidos em metros. No ponto (2,3), encontre as taxas de variação da temperatura em relação às distâncias percorridas ao longo da placa nas direções dos eixos
e
.
Use a definição da derivada parcial como limite para calcular