A Lei dos Gases Ideais afirma que , onde é a pressão, é o volume, é uma constante de proporcionalidade, e é a temperatura absoluta. Mostre que

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a Lei dos Gases Ideais, que diz que , onde é a pressão, é o volume, é uma constante, e é a temperatura absoluta. A tarefa é mostrar que o produto das derivadas parciais é igual a . Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e relacionamentos entre variáveis dependentes.

Passo 2

Vamos começar reescrevendo a Lei dos Gases Ideais para facilitar a manipulação das variáveis. A equação é:
Isso significa que depende de e , depende de e , e depende de e .

Passo 3

Para encontrar , vamos tratar como constante. Diferenciando ambos os lados da equação em relação a :
Como é constante, . Assim, temos:

Passo 4

Agora, vamos encontrar . Tratando como constante, diferenciamos a equação original em relação a :
Como é constante, . Então:

Passo 5

Por fim, vamos calcular . Tratando como constante, diferenciamos a equação original em relação a :
Portanto:

Passo 6

Agora, vamos multiplicar as três derivadas parciais que encontramos:
Simplificando os termos:

Resposta

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Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo.
Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo.
A temperatura em qualquer ponto de uma placa de aço é , onde e são medidos em metros. No ponto (2,3), encontre as taxas de variação da temperatura em relação às distâncias percorridas ao longo da placa nas direções dos eixos e .
Use a definição da derivada parcial como limite para calcular