O volume de um cone circular reto com raio
e altura
é
. Suponha que
cm . O que leva a um aumento maior em
, um aumento de
ou um aumento de 1 cm em
? Argumente usando derivadas parciais.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um problema sobre o volume de um cone circular reto, que é dado pela fórmula
, onde
é o raio da base e
é a altura do cone. No exercício, o raio e a altura são ambos 12 cm. A pergunta é: se aumentarmos o raio em 1 cm ou a altura em 1 cm, qual desses aumentos faz o volume do cone crescer mais? Para resolver isso, vamos usar derivadas parciais, que nos ajudam a entender como mudanças em uma variável afetam uma função quando as outras variáveis estão constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação ao raio
. Isso significa que vamos ver como o volume muda quando apenas o raio muda, mantendo a altura constante.
A fórmula do volume é:
A derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação à altura
. Isso nos mostra como o volume muda quando apenas a altura muda, mantendo o raio constante.
A derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 4
Vamos agora substituir os valores dados no exercício, onde
cm e
cm, nas derivadas que calculamos.
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora, vamos interpretar esses resultados. A derivada parcial
nos diz que, ao aumentar o raio em 1 cm, o volume aumenta aproximadamente
cm³. Já a derivada parcial
indica que, ao aumentar a altura em 1 cm, o volume aumenta aproximadamente
cm³.
Resposta
Então, aumentar o raio em 1 cm resulta em um aumento maior no volume do cone do que aumentar a altura em 1 cm.
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Prove que
,
sendo qualquer raiz
-ésima da unidade, diferente de 1 .
sendo
Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo.
Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo.