O volume de um cone circular reto com raio e altura é . Suponha que cm . O que leva a um aumento maior em , um aumento de ou um aumento de 1 cm em ? Argumente usando derivadas parciais.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um problema sobre o volume de um cone circular reto, que é dado pela fórmula , onde é o raio da base e é a altura do cone. No exercício, o raio e a altura são ambos 12 cm. A pergunta é: se aumentarmos o raio em 1 cm ou a altura em 1 cm, qual desses aumentos faz o volume do cone crescer mais? Para resolver isso, vamos usar derivadas parciais, que nos ajudam a entender como mudanças em uma variável afetam uma função quando as outras variáveis estão constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação ao raio . Isso significa que vamos ver como o volume muda quando apenas o raio muda, mantendo a altura constante.
A fórmula do volume é:
A derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação à altura . Isso nos mostra como o volume muda quando apenas a altura muda, mantendo o raio constante.
A derivada parcial de em relação a é:

Passo 4

Vamos agora substituir os valores dados no exercício, onde cm e cm, nas derivadas que calculamos.
Para :
Para :

Passo 5

Agora, vamos interpretar esses resultados. A derivada parcial nos diz que, ao aumentar o raio em 1 cm, o volume aumenta aproximadamente cm³. Já a derivada parcial indica que, ao aumentar a altura em 1 cm, o volume aumenta aproximadamente cm³.

Resposta

Então, aumentar o raio em 1 cm resulta em um aumento maior no volume do cone do que aumentar a altura em 1 cm.

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Prove que
,
sendo qualquer raiz -ésima da unidade, diferente de 1 .
Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo.
Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo.