Determine os limites:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir o limite da função
quando
se aproxima de
. Isso está dentro do conteúdo de limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, a gente vai precisar analisar o comportamento da função por diferentes caminhos que
pode seguir para chegar em
.
Passo 2
Primeiro, vamos testar alguns caminhos simples para ver o que acontece com o limite:
-
Caminho 1:Se colocarmos
, a função fica: Então, nesse caminho, o limite é. -
Caminho 2:Se colocarmos
, a função fica: Novamente, o limite énesse caminho.
Passo 3
Vamos ser mais gerais agora e usar coordenadas polares para analisar qualquer caminho que
possa seguir para chegar em
. Nas coordenadas polares, temos
e
, onde
é a distância até a origem e
é o ângulo.
Substituindo na função:
Simplificando:
À medida que
,
. O denominador
é sempre positivo e não depende de
. Então, todo o quociente tende a
.
Resposta
O limite é
.