Determine os limites: lim (x, y) (0,0) raizx y^4x^4+y^4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir o limite da função raizx , y^4x^4 + y^4 quando (x, y) se aproxima de (0,0). Isso está dentro do conteúdo de limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, a gente vai precisar analisar o comportamento da função por diferentes caminhos que (x, y) pode seguir para chegar em (0,0).

Passo 2

Primeiro, vamos testar alguns caminhos simples para ver o que acontece com o limite:
  • Caminho 1: y = 0
    Se colocarmos y = 0, a função fica:
    raizx cdot 0^4x^4 + 0^4 = 0x^4 = 0
    Então, nesse caminho, o limite é 0.
  • Caminho 2: x = 0
    Se colocarmos x = 0, a função fica:
    raiz0 cdot y^40^4 + y^4 = 0 cdot y^4y^4 = 0
    Novamente, o limite é 0 nesse caminho.

Passo 3

Vamos ser mais gerais agora e usar coordenadas polares para analisar qualquer caminho que (x, y) possa seguir para chegar em (0,0). Nas coordenadas polares, temos x = r cos(theta) e y = r sin(theta), onde r é a distância até a origem e theta é o ângulo.
Substituindo na função:
raizr cos(theta) cdot (r sin(theta))^4(r cos(theta))^4 + (r sin(theta))^4 = raizr raizcos(theta) cdot r^4 sin^4(theta)r^4 (cos^4(theta) + sin^4(theta))
Simplificando:
raizr sin^4(theta) raizcos(theta)cos^4(theta) + sin^4(theta)
À medida que r to 0, raizr to 0. O denominador cos^4(theta) + sin^4(theta) é sempre positivo e não depende de r. Então, todo o quociente tende a 0.

Resposta

O limite é 0.

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