Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções a seguir.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função . Aqui estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas parciais, que são usadas quando temos funções de várias variáveis e queremos ver como a função muda em relação a uma variável mantendo a outra constante.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Para isso, tratamos como uma constante e diferenciamos cada termo em relação a .

Passo 3

O primeiro termo é . A derivada de em relação a é .

Passo 4

O segundo termo é . Aqui, é tratado como uma constante. A derivada de em relação a é .

Passo 5

O terceiro termo é . Novamente, é uma constante. A derivada de em relação a é .

Passo 6

Agora, somamos as derivadas dos três termos para obter :

Passo 7

Em seguida, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Desta vez, tratamos como uma constante e diferenciamos cada termo em relação a .

Passo 8

O primeiro termo é . A derivada de em relação a é , já que não depende de .

Passo 9

O segundo termo é . Aqui, é uma constante. A derivada de em relação a é , então a derivada desse termo é .

Passo 10

O terceiro termo é . é uma constante. A derivada de em relação a é , então a derivada desse termo é .

Passo 11

Agora, somamos as derivadas dos três termos para obter :

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:

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Mostre que a função é diferenciável em todos os pontos de .
Seja . Determine o domínio de .
Calcule os limites abaixo.
(o)
Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções a seguir.