Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função
. Aqui estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas parciais, que são usadas quando temos funções de várias variáveis e queremos ver como a função muda em relação a uma variável mantendo a outra constante.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, tratamos
como uma constante e diferenciamos cada termo em relação a
.
Passo 3
O primeiro termo é
. A derivada de
em relação a
é
.
Passo 4
O segundo termo é
. Aqui,
é tratado como uma constante. A derivada de
em relação a
é
.
Passo 5
O terceiro termo é
. Novamente,
é uma constante. A derivada de
em relação a
é
.
Passo 6
Agora, somamos as derivadas dos três termos para obter
:
Passo 7
Em seguida, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Desta vez, tratamos
como uma constante e diferenciamos cada termo em relação a
.
Passo 8
O primeiro termo é
. A derivada de
em relação a
é
, já que
não depende de
.
Passo 9
O segundo termo é
. Aqui,
é uma constante. A derivada de
em relação a
é
, então a derivada desse termo é
.
Passo 10
O terceiro termo é
.
é uma constante. A derivada de
em relação a
é
, então a derivada desse termo é
.
Passo 11
Agora, somamos as derivadas dos três termos para obter
:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
Exercícios relacionados
Mostre que a função
é diferenciável em todos os pontos de
.
Seja
. Determine o domínio de
.
Calcule os limites abaixo.
(o)
(o)
Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções a seguir.