Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções a seguir.
z = x e^(3 y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa encontrar as derivadas parciais de primeira ordem dessa função. Isso significa que vamos calcular como muda em relação a cada uma das variáveis, \emph{i.e.}, e , uma de cada vez, mantendo a outra constante. Para isso, vamos precisar entender o que é derivada parcial e como aplicar a regra de derivação em funções de múltiplas variáveis.

Passo 2

Vamos começar encontrando a derivada parcial de em relação a , que é denotada por .
Quando calculamos , tratamos como uma constante. A função fica então:
Aqui, é uma constante porque está fixo. A derivada de em relação a é 1. Portanto:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Dessa vez, tratamos como uma constante. A função é:
Para derivar em relação a , usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é , onde . Então:
Multiplicando pelo constante:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:

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