Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisa encontrar as derivadas parciais de primeira ordem dessa função. Isso significa que vamos calcular como
muda em relação a cada uma das variáveis, \emph{i.e.},
e
, uma de cada vez, mantendo a outra constante. Para isso, vamos precisar entender o que é derivada parcial e como aplicar a regra de derivação em funções de múltiplas variáveis.
Passo 2
Vamos começar encontrando a derivada parcial de
em relação a
, que é denotada por
.
Quando calculamos
, tratamos
como uma constante. A função fica então:
Aqui,
é uma constante porque
está fixo. A derivada de
em relação a
é 1. Portanto:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Dessa vez, tratamos
como uma constante. A função é:
Para derivar
em relação a
, usamos a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é
, onde
. Então:
Multiplicando pelo
constante:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função
são: