Mostre que a função
é diferenciável em todos os pontos de
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos mostrar que ela é diferenciável em todos os pontos de
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas parciais e a definição de diferenciabilidade para funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
. As derivadas parciais nos mostram como a função muda quando uma variável muda, mantendo a outra fixa.
A derivada parcial de
em relação a
é:
A derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, precisamos verificar se as derivadas parciais são contínuas em todos os pontos de
. Uma função é diferenciável em um ponto se suas derivadas parciais existem e são contínuas nesse ponto.
As funções
e
são polinomiais, e sabemos que polinômios são funções contínuas em todo o seu domínio. Portanto, ambas as derivadas parciais são contínuas em
.
Passo 4
Como as derivadas parciais de
existem e são contínuas em todos os pontos de
, pela definição, a função
é diferenciável em todos os pontos de
.
Resposta
A função
é diferenciável em todos os pontos de
.
Exercícios relacionados
Seja
. Determine o domínio de
.
Encontre a linearização
de
no ponto
.
Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções a seguir.
Calcule os limites abaixo.
(o)
(o)