Mostre que a função é diferenciável em todos os pontos de .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos mostrar que ela é diferenciável em todos os pontos de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas parciais e a definição de diferenciabilidade para funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e . As derivadas parciais nos mostram como a função muda quando uma variável muda, mantendo a outra fixa.
A derivada parcial de em relação a é:
A derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, precisamos verificar se as derivadas parciais são contínuas em todos os pontos de . Uma função é diferenciável em um ponto se suas derivadas parciais existem e são contínuas nesse ponto.
As funções e são polinomiais, e sabemos que polinômios são funções contínuas em todo o seu domínio. Portanto, ambas as derivadas parciais são contínuas em .

Passo 4

Como as derivadas parciais de existem e são contínuas em todos os pontos de , pela definição, a função é diferenciável em todos os pontos de .

Resposta

A função é diferenciável em todos os pontos de .

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Seja . Determine o domínio de .
Encontre a linearização de no ponto .
Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções a seguir.
Calcule os limites abaixo.
(o)