Nos Problemas de 1 até 8, achar a solução geral da equação diferencial dada:
8)

Passo 1

Beleza, a gente tem a equação diferencial . O conteúdo aqui envolve equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica bem útil para esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a equação no formato padrão das equações diferenciais lineares:
Para isso, vamos dividir todos os termos da equação original por :
Aqui, e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Vamos calcular essa integral:
Fazendo uma substituição simples, deixe , então . A integral fica:
Então, o fator integrante é:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
A esquerda da equação agora pode ser escrita como a derivada do produto :

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados da equação:
A integral do lado esquerdo é simplesmente , e a do lado direito, fazendo , fica:
Então, temos:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Calcule os limites abaixo.
§
Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções a seguir.
Nos Problemas de 1 até 8, achar a solução geral da equação diferencial dada:
5)
Determine o ponto do plano que está mais próximo do ponto .