Nos Problemas de 1 até 8, achar a solução geral da equação diferencial dada:
8)
8)
Passo 1
Beleza, a gente tem a equação diferencial
. O conteúdo aqui envolve equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica bem útil para esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos deixar a equação no formato padrão das equações diferenciais lineares:
Para isso, vamos dividir todos os termos da equação original por
:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Vamos calcular essa integral:
Fazendo uma substituição simples, deixe
, então
. A integral fica:
Então, o fator integrante é:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
A esquerda da equação agora pode ser escrita como a derivada do produto
:
Passo 5
Vamos integrar ambos os lados da equação:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
, e a do lado direito, fazendo
, fica:
Então, temos:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Calcule os limites abaixo.
§
§
Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções a seguir.
Nos Problemas de 1 até 8, achar a solução geral da equação diferencial dada:
5)
5)
Determine o ponto do plano
que está mais próximo do ponto
.