Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções.
z=x e^3 y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisa encontrar as derivadas parciais de primeira ordem dela. Ou seja, vamos calcular e . Para isso, vamos usar as regras de derivação de funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , mantendo como uma constante. Quando derivamos uma função em relação a uma variável, tratamos as outras como constantes.
A função é . Como é constante, também é constante em relação a .

Passo 3

Aplicamos a regra básica da derivada: a derivada de partial zpartial x = e^3y cdot ddx(x) = e^3y cdot 1 = e^3y em relação a é 1. Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , mantendo como constante. A função novamente é .
Aqui, é constante, então podemos tirar ele da derivada.

Passo 5

Aplicamos a regra da cadeia para derivar partial zpartial y = x cdot ddy(e^3y) = x cdot 3e^3y = 3x e^3y em relação a . A derivada de em relação a é , e multiplicamos pela derivada de em relação a .
Nesse caso, , então .
Portanto,

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função partial zpartial x = e^3y são:
partial zpartial y = 3x e^3y
e

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