Resolva as EDO
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é
. O conteúdo aqui envolve equações diferenciais de primeira ordem e vamos precisar verificar se a equação é exata ou se podemos torná-la exata para resolver. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que multiplicam
e
. Temos:
Para saber se a equação é exata, a gente checa se a derivada parcial de
em relação a
é igual à derivada parcial de
em relação a
.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
-
(porque não depende de ) -
Como
, a equação não é exata.
Passo 4
Vamos então procurar um fator integrante. Observando a equação, notamos que
e
podem ser ajustados multiplicando por
. Isso simplifica a equação e a torna exata. Vamos multiplicar os dois lados por
:
Passo 5
Agora que a equação é exata, podemos encontrar uma função potencial
tal que:
Integrando em relação a
:
Passo 6
Para integrar
, fazemos uma substituição:
- Seja
, então , ou
Substituindo:
Passo 7
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Integrando
:
Passo 8
Juntando tudo, a solução geral da equação diferencial é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
, onde
é uma constante.
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