Resolva as EDO sen 3 x d x+2 y cos ^3 3 x d y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é sin(3x) , dx + 2y cos^3(3x) , dy = 0. O conteúdo aqui envolve equações diferenciais de primeira ordem e vamos precisar verificar se a equação é exata ou se podemos torná-la exata para resolver. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que multiplicam e . Temos:
Para saber se a equação é exata, a gente checa se a derivada parcial de em relação a é igual à derivada parcial de em relação a .

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
  • (porque não depende de )
Como , a equação não é exata.

Passo 4

Vamos então procurar um fator integrante. Observando a equação, notamos que sin(3x) cos^-3(3x) , dx + 2y , dy = 0 e podem ser ajustados multiplicando por . Isso simplifica a equação e a torna exata. Vamos multiplicar os dois lados por :

Passo 5

Agora que a equação é exata, podemos encontrar uma função potencial partial Psipartial x = sin(3x) cos^-3(3x) tal que:
Psi(x, y) = integral sin(3x) cos^-3(3x) , dx + h(y)
Integrando em relação a :

Passo 6

Para integrar Psi(x, y) = -13 integral u^-3 , du + h(y) = -13 ( u^-2-2 ) + h(y) = 16 cos^-2(3x) + h(y) , fazemos uma substituição:
  • Seja , então , ou
Substituindo:

Passo 7

Agora, derivamos partial Psipartial y = h'(y) = 2y em relação a h(y) = y^2 + C e igualamos a :
Integrando :

Passo 8

Juntando tudo, a solução geral da equação diferencial é:
Psi(x, y) = 16 cos^-2(3x) + y^2 = C

Resposta

A solução geral da equação diferencial é , onde é uma constante.

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