Encontre a derivada das funções trigonométrica inversas abaixo: dd x(arccotg x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a derivada da função trigonométrica inversa arccotg x. Isso faz parte do estudo de cálculo diferencial, onde aprendemos a derivar funções, incluindo as funções trigonométricas inversas. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como derivar a arccotangente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a função arccotg x. Ela é a função inversa da cotangente, ou seja, se y = arccotg x, então x = cot(y). Nosso objetivo é encontrar dydx.

Passo 3

Para derivar funções inversas como a arccotg x, usamos a seguinte regra de derivação:
ddx (arccotg x) = -11 + x^2
Essa fórmula é padrão e pode ser memorizada, mas vamos ver rapidamente por que isso acontece.

Passo 4

Sabemos que x = cot(y). Vamos derivar ambos os lados em relação a x usando a regra da cadeia:
dxdx = ddx (cot(y)) Rightarrow 1 = -csc^2(y) cdot dydx
Agora, isolamos dydx:
dydx = -1csc^2(y)
Como csc^2(y) = 1 + cot^2(y) e cot(y) = x, substituímos:
dydx = -11 + x^2

Resposta

A derivada de arccotg x é:
ddx(arccotg x) = -11 + x^2

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