Determine as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções f definidas em um subconjunto aberto de R^2. f(x, y) = (2x + 3y)^(10) * e^(x - y);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função . Isso significa que vamos calcular e . Para isso, vamos usar as regras de derivação, especialmente a regra do produto e a regra da cadeia, que são fundamentais no cálculo de derivadas de funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . A função é o produto de duas funções: e . Para derivar o produto, usamos a regra do produto:

Passo 3

Vamos encontrar . A função é uma função composta, então usamos a regra da cadeia. Derivando com relação a :

Passo 4

Agora, vamos calcular . A função é uma função exponencial simples. A derivada de em relação a é:

Passo 5

Substituindo e na regra do produto:
Podemos fatorar :

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Novamente, usamos a regra do produto:

Passo 7

Calculando para :

Passo 8

Calculando para :

Passo 9

Substituindo e na regra do produto:
Fatorando :

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
e

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