Determine as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções
definidas em um subconjunto aberto de
.
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função
. Isso significa que vamos calcular
e
. Para isso, vamos usar as regras de derivação, especialmente a regra do produto e a regra da cadeia, que são fundamentais no cálculo de derivadas de funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. A função
é o produto de duas funções:
e
. Para derivar o produto, usamos a regra do produto:
Passo 3
Vamos encontrar
. A função
é uma função composta, então usamos a regra da cadeia. Derivando com relação a
:
Passo 4
Agora, vamos calcular
. A função
é uma função exponencial simples. A derivada de
em relação a
é:
Passo 5
Substituindo
e
na regra do produto:
Podemos fatorar
:
Passo 6
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Novamente, usamos a regra do produto:
Passo 7
Calculando
para
:
Passo 8
Calculando
para
:
Passo 9
Substituindo
e
na regra do produto:
Fatorando
:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
e