Estude a convergência (se possível diga o valor da soma), convergência condicional, convergência absoluta ou divergência das séries
c) sumk=2^infty 1k(ln k)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa estudar a convergência da série
sumk=2^infty 1k(ln k)^2
Aqui, estamos lidando com séries numéricas e vamos usar o Teste da Integral para verificar se a série converge ou diverge. Vamos precisar entender um pouquinho sobre integrais e como elas se relacionam com as séries.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma série convergir ou divergir. Uma série converge se a soma dos seus termos chega a um valor finito quando somamos infinitamente. Caso contrário, dizemos que a série diverge.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Integral. Esse teste diz que se sumk=N^infty f(k) é uma função contínua, positiva e decrescente para integralN^infty f(x) , dx (onde é algum número natural), então a série
converge se e somente se a integral
também converge.

Passo 4

Vamos identificar nossa função f(k) = 1k(ln k)^2 :
Essa função é contínua, positiva e decrescente para , então podemos aplicar o Teste da Integral.

Passo 5

Vamos calcular a integral correspondente:
integral2^infty 1x(ln x)^2 , dx
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Vamos deixar integralu = ln 2^infty 1u^2 , du , então . Assim, a integral fica:

Passo 6

Agora, integrando integral 1u^2 , du = -1u + C :
limb to infty ( -1b + 1ln 2 ) = 1ln 2
Avaliado de a , temos:
Como a integral resulta em um valor finito, isso significa que a integral converge.

Passo 7

Segundo o Teste da Integral, já que a integral convergiu, a série original
sumk=2^infty 1k(ln k)^2
também converge.

Resposta

A série
sumk=2^infty 1k(ln k)^2
converge absolutamente.

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