Estude a convergência (se possível diga o valor da soma), convergência condicional, convergência absoluta ou divergência das séries
c)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa estudar a convergência da série
Aqui, estamos lidando com séries numéricas e vamos usar o Teste da Integral para verificar se a série converge ou diverge. Vamos precisar entender um pouquinho sobre integrais e como elas se relacionam com as séries.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma série convergir ou divergir. Uma série converge se a soma dos seus termos chega a um valor finito quando somamos infinitamente. Caso contrário, dizemos que a série diverge.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Integral. Esse teste diz que se
é uma função contínua, positiva e decrescente para
(onde
é algum número natural), então a série
converge se e somente se a integral
também converge.
Passo 4
Vamos identificar nossa função
:
Essa função é contínua, positiva e decrescente para
, então podemos aplicar o Teste da Integral.
Passo 5
Vamos calcular a integral correspondente:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Vamos deixar
, então
. Assim, a integral fica:
Passo 6
Agora, integrando
:
Avaliado de
a
, temos:
Como a integral resulta em um valor finito, isso significa que a integral converge.
Passo 7
Segundo o Teste da Integral, já que a integral convergiu, a série original
também converge.
Resposta
A série
converge absolutamente.