Verifique se os campos vetoriais são conservativos e em caso afirmativo determine uma função potencial para os mesmos: F(x, y) = (cos(y) + y cos(x)) i + (sen(x) - x sen(y)) j

Passo 1

Então, temos o seguinte problema: Precisamos verificar se o campo vetorial é conservativo. Se for, devemos encontrar uma função potencial para ele. Para resolver isso, vamos trabalhar com conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e funções potenciais.

Passo 2

Primeiro, lembremos que um campo vetorial é conservativo se existir uma função escalar tal que . Isso significa que:
Para verificar se o campo é conservativo, precisamos checar se:

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
Primeiro, identifiquemos e :
Agora, calculemos :
E :
Observamos que:
Como as derivadas parciais são iguais, o campo vetorial é conservativo.

Passo 4

Agora que sabemos que o campo é conservativo, vamos encontrar a função potencial . Para isso, integramos em relação a :
Integrando termo a termo:
Aqui, é uma função que depende apenas de .

Passo 5

Para determinar , derivamos em relação a e igualamos a :
Comparando os termos:
Isso implica que:
Integrando, obtemos:

Resposta

A função potencial do campo vetorial é:
onde é uma constante arbitrária.

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