Verifique se os campos vetoriais são conservativos e em caso afirmativo determine uma função potencial para os mesmos:
Passo 1
Então, temos o seguinte problema: Precisamos verificar se o campo vetorial é conservativo. Se for, devemos encontrar uma função potencial para ele. Para resolver isso, vamos trabalhar com conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e funções potenciais.
Passo 2
Primeiro, lembremos que um campo vetorial
é conservativo se existir uma função escalar
tal que
. Isso significa que:
Para verificar se o campo é conservativo, precisamos checar se:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
Primeiro, identifiquemos
e
:
Agora, calculemos
:
E
:
Observamos que:
Como as derivadas parciais são iguais, o campo vetorial
é conservativo.
Passo 4
Agora que sabemos que o campo é conservativo, vamos encontrar a função potencial
. Para isso, integramos
em relação a
:
Integrando termo a termo:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Passo 5
Para determinar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Comparando os termos:
Isso implica que:
Integrando, obtemos:
Resposta
A função potencial do campo vetorial é:
onde
é uma constante arbitrária.