Determine se séries telescópicas divergem ou convergem, e no caso convergente determine sua soma
e)
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Passo 1
Então, a gente tem que analisar a série infinita
O objetivo é descobrir se essa série converge ou diverge. Se ela converger, a gente também precisa encontrar a soma dela. Para isso, vamos usar o conceito de série telescópica, que é uma série onde muitos termos se cancelam quando somamos os termos consecutivos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma série telescópica. Ela é uma série onde, ao somar os termos, partes de cada termo se anulam com partes de outros termos. Isso faz com que a soma total fique mais simples de calcular. É como se muitos pedaços se empilhassem e só restasse o começo e o fim.
No nosso caso, cada termo da série é
Isso já está na forma de algo menos algo, que é a típica estrutura de uma série telescópica.
Passo 3
Vamos escrever os primeiros termos da série para ver como ocorre o cancelamento:
Para
:
Para
:
Para
:
E assim por diante.
Passo 4
Agora, vamos somar esses termos:
Observa que
aparece com sinal positivo no primeiro termo e com sinal negativo no segundo, então elas se cancelam. O mesmo acontece com
, e assim por diante. Isso é o que faz a série ser telescópica.
Passo 5
Depois do cancelamento, o que sobra são apenas o primeiro termo e o “último” termo que não tem par para se cancelar. No caso de uma série infinita, o último termo vai para o infinito.
Então, a soma parcial
da série até
termos é:
Passo 6
Para encontrar a soma da série infinita, vamos calcular o limite de
quando
tende ao infinito:
Sabemos que
, então:
Passo 7
Agora, sabemos que
. Substituindo na expressão do limite:
Mas como estamos somando termos positivos e negativos, a soma final da série será o valor absoluto dessa diferença:
Resposta
A série telescópica
converge e sua soma é