Determine se séries telescópicas divergem ou convergem, e no caso convergente determine sua soma
e) sumn=1^infty(arccos (1n+1)-arccos (1n+2))

Passo 1

Então, a gente tem que analisar a série infinita
sumn=1^infty(arccos (1n+1)-arccos (1n+2))
O objetivo é descobrir se essa série converge ou diverge. Se ela converger, a gente também precisa encontrar a soma dela. Para isso, vamos usar o conceito de série telescópica, que é uma série onde muitos termos se cancelam quando somamos os termos consecutivos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma série telescópica. Ela é uma série onde, ao somar os termos, partes de cada termo se anulam com partes de outros termos. Isso faz com que a soma total fique mais simples de calcular. É como se muitos pedaços se empilhassem e só restasse o começo e o fim.
No nosso caso, cada termo da série é
arccos (1n+1) - arccos (1n+2)
Isso já está na forma de algo menos algo, que é a típica estrutura de uma série telescópica.

Passo 3

Vamos escrever os primeiros termos da série para ver como ocorre o cancelamento:
Para arccos(12) - arccos(13) :
arccos(13) - arccos(14)
Para arccos(14) - arccos(15) :
Para :
E assim por diante.

Passo 4

Agora, vamos somar esses termos:
&(arccos(12) - arccos(13)) +&(arccos(13) - arccos(14)) +&(arccos(14) - arccos(15)) +&cdots
Observa que aparece com sinal positivo no primeiro termo e com sinal negativo no segundo, então elas se cancelam. O mesmo acontece com , e assim por diante. Isso é o que faz a série ser telescópica.

Passo 5

Depois do cancelamento, o que sobra são apenas o primeiro termo e o “último” termo que não tem par para se cancelar. No caso de uma série infinita, o último termo vai para o infinito.
Então, a soma parcial SN = arccos(12) - arccos(1N+2) da série até termos é:

Passo 6

Para encontrar a soma da série infinita, vamos calcular o limite de limN to infty SN = arccos(12) - limN to infty arccos(1N+2) quando limN to infty arccos(1N+2) = arccos(0) = pi2 tende ao infinito:
Sabemos que , então:

Passo 7

Agora, sabemos que limN to infty SN = pi3 - pi2 = -pi6 . Substituindo na expressão do limite:
| -pi6 | = pi6
Mas como estamos somando termos positivos e negativos, a soma final da série será o valor absoluto dessa diferença:

Resposta

A série telescópica
sumn=1^infty(arccos (1n+1)-arccos (1n+2))
converge e sua soma é
pi6

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