Utilize o teste da integral ou o teste da p-série (séries harmônicas) para determinar se a série é convergente ou divergente.
© sumn=2^infty ln (n^2)n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para usar o teste da integral ou o teste da p-série para descobrir se a série converge ou diverge. Aqui, estamos lidando com séries infinitas e queremos saber se a soma delas resulta em um número finito ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da série. Sabemos que ln(n^2) = 2ln(n) pode ser simplificado usando propriedades dos logaritmos:
sumn=2^infty 2ln(n)n = 2sumn=2^infty ln(n)n
Então, a série fica:

Passo 3

Agora, vamos aplicar o teste da integral para verificar a convergência da série. Para isso, consideramos a função contínua, positiva e decrescente correspondente aos termos da série:
f(x) = 2ln(x)x
Precisamos avaliar a integral imprópria:
integral2^infty 2ln(x)x , dx

Passo 4

Vamos resolver essa integral. Podemos simplificar a constante 2:
2integral2^infty ln(x)x , dx
Sabemos que a integral de integral ln(x)x , dx = (ln(x))^22 + C é:
2[ (ln(x))^22 ]2^infty = (ln(x))^2 |2^infty
Ent��o, aplicando os limites:

Passo 5

Agora, avaliamos o limite quando limx to infty (ln(x))^2 - (ln(2))^2 tende ao infinito:
integral2^infty 2ln(x)x , dx
Sabemos que tende ao infinito quando cresce sem limites, então também tende ao infinito. Isso significa que a integral:
diverge para o infinito.

Resposta

Como a integral associada diverge, pelo teste da integral, a série diverge.

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