Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para usar o teste da integral ou o teste da p-série para descobrir se a série converge ou diverge. Aqui, estamos lidando com séries infinitas e queremos saber se a soma delas resulta em um número finito ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da série. Sabemos que pode ser simplificado usando propriedades dos logaritmos:
Então, a série fica:
Passo 3
Agora, vamos aplicar o teste da integral para verificar a convergência da série. Para isso, consideramos a função contínua, positiva e decrescente correspondente aos termos da série:
Precisamos avaliar a integral imprópria:
Passo 4
Vamos resolver essa integral. Podemos simplificar a constante 2:
Sabemos que a integral de é:
Ent��o, aplicando os limites:
Passo 5
Agora, avaliamos o limite quando limx to infty (ln(x))^2 - (ln(2))^2 tende ao infinito:
integral2^infty 2ln(x)x , dx
Sabemos que tende ao infinito quando cresce sem limites, então também tende ao infinito. Isso significa que a integral:
diverge para o infinito.
Resposta
Como a integral associada diverge, pelo teste da integral, a série diverge.