Determine as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções f definidas em um subconjunto aberto de R^2. f(x, y) = raiz(x^2 + y^2);

Passo 1

Vamos resumir o que foi pedido: precisamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função . Isso significa que vamos calcular como a função muda em relação a cada variável, e , individualmente. Para resolver isso, vamos usar as regras de derivação para funções multivariáveis, especificamente a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Para isso, tratamos como uma constante e diferenciamos em relação a .
A função é . Podemos reescrever isso como .
Aplicando a regra da cadeia, a derivada de em relação a é . Aqui, e .
Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Neste caso, tratamos como constante e diferenciamos em relação a .
Usando a mesma abordagem:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:

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