Determine as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções
definidas em um subconjunto aberto de
.
;
Passo 1
Vamos resumir o que foi pedido: precisamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função
. Isso significa que vamos calcular como a função muda em relação a cada variável,
e
, individualmente. Para resolver isso, vamos usar as regras de derivação para funções multivariáveis, especificamente a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, tratamos
como uma constante e diferenciamos
em relação a
.
A função é
. Podemos reescrever isso como
.
Aplicando a regra da cadeia, a derivada de
em relação a
é
. Aqui,
e
.
Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Neste caso, tratamos
como constante e diferenciamos
em relação a
.
Usando a mesma abordagem:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função
são: