Determine as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções
definidas em um subconjunto aberto de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função
. Isso faz parte do conteúdo de cálculo, mais especificamente de derivadas parciais. Para resolver, vamos usar a regra da derivada para funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função é
. Para derivar isso em relação a
, vamos usar a regra do quociente, que diz que se temos
, a derivada é
.
Aqui,
e
.
Calculando as derivadas:
-
(porque a derivada de em relação a é 1 e a derivada de em relação a é 0) -
(mesma lógica)
Aplicando na regra do quociente:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Usando novamente a regra do quociente para
, onde agora tratamos
como constante.
Aqui,
e
.
Calculando as derivadas:
-
(derivada de em relação a é 1) -
(derivada de em relação a é -1)
Aplicando na regra do quociente:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função
são:
e