Determine as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções
definidas em um subconjunto aberto de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisa encontrar as derivadas parciais de primeira ordem dela. Isso faz parte da matéria de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar saber como derivar funções de várias variáveis e aplicar as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial em relação a
, ou seja,
. Quando derivamos em relação a
, tratamos
como uma constante.
A função é
. A derivada de
em relação a
é
.
Agora, para a parte
, usamos a regra do produto, já que
é uma constante multiplicada por
.
Passo 3
Aplicando a regra do produto:
Agora, vamos derivar
em relação a
. Aqui, usamos a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é
, e depois multiplicamos pela derivada de
em relação a
, onde
.
Então:
Portanto:
Passo 4
Agora, juntando tudo para
:
Passo 5
Vamos agora calcular a derivada parcial em relação a
, ou seja,
. Aqui, tratamos
como uma constante.
A função é
. A derivada de
em relação a
é 0, já que
não depende de
.
Para a parte
, novamente usamos a regra do produto.
Passo 6
Aplicando a regra do produto:
A derivada de
em relação a
é
.
Agora, vamos derivar
em relação a
. Usamos a regra da cadeia novamente:
Então:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função
são:
e