Estude a convergência (se possível diga o valor da soma), convergência condicional, convergência absoluta ou divergência das séries
m) sumn=1^infty 5^n^2(n!)^2

Passo 1

Beleza, então vamos dar uma olhada no exercício que você enviou. Temos a série infinita:
sumn=1^infty 5^n^2(n!)^2
O objetivo aqui é estudar a convergência dessa série, ou seja, descobrir se ela soma a algum valor finito, se converge de forma absoluta ou condicional, ou se simplesmente diverge. Para isso, vamos precisar usar alguns testes de convergência de séries infinitas e entender um pouquinho sobre fatoriais e potências.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os termos da série. Temos no numerador e no denominador. Os fatoriais ( ) crescem muito rápido, e também faz a potência de 5 crescer bastante. Para analisar a convergência, vamos usar o Teste da Razão, que é ótimo para séries com termos envolvendo fatoriais e potências.

Passo 3

O Teste da Razão funciona assim: calculamos o limite da razão entre o termo seguinte limn to infty | an+1an | = limn to infty 5^(n+1)^2((n+1)!)^2 cdot (n!)^25^n^2 e o termo atual quando tende ao infinito. Se esse limite for menor que 1, a série converge absolutamente; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste não conclui nada.
Então, vamos calcular:

Passo 4

Simplificando a expressão:
5^(n+1)^25^n^2 = 5^(n+1)^2 - n^2 = 5^2n + 1
E para os fatoriais:
(n!)^2((n+1)!)^2 = (n!)^2(n+1)^2 cdot (n!)^2 = 1(n+1)^2
Então, a razão fica:
limn to infty 5^2n + 1 cdot 1(n+1)^2 = limn to infty 5^2n + 1(n+1)^2

Passo 5

Agora, precisamos calcular esse limite. Sabemos que limn to infty 5^2n + 1(n+1)^2 = infty cresce exponencialmente, enquanto cresce apenas quadraticamente. Em termos de crescimento, exponencial supera polinomial. Portanto, o limite tende a infinito:

Passo 6

Como o limite da razão é maior que 1 (na verdade, é infinito), de acordo com o Teste da Razão, a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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