Determine as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções f definidas em um subconjunto aberto de R^2. f(x, y) = x / raiz(x^2 + y^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função . Isso faz parte do estudo de cálculo diferencial, onde a gente analisa como uma função muda em relação a cada uma das suas variáveis, mantendo a outra constante.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , que a gente chama de . Isso significa que vamos derivar a função considerando como uma constante.

Passo 3

Vamos reescrever a função para facilitar a derivação:
Aqui, usamos a propriedade que .

Passo 4

Agora, aplicamos a regra do produto para derivar em relação a :
A primeira derivada é 1.

Passo 5

Vamos derivar a segunda parte usando a regra da cadeia:

Passo 6

Substituindo na expressão de :

Passo 7

Podemos simplificar colocando o denominador em evidência:

Passo 8

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , denotada por . Dessa vez, tratamos como constante.

Passo 9

Usando a mesma reescrita da função:

Passo 10

Derivando em relação a :

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:

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