Determine as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções
definidas em um subconjunto aberto de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função
. Isso faz parte do estudo de cálculo diferencial, onde a gente analisa como uma função muda em relação a cada uma das suas variáveis, mantendo a outra constante.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, que a gente chama de
. Isso significa que vamos derivar a função considerando
como uma constante.
Passo 3
Vamos reescrever a função para facilitar a derivação:
Aqui, usamos a propriedade que
.
Passo 4
Agora, aplicamos a regra do produto para derivar
em relação a
:
A primeira derivada
é 1.
Passo 5
Vamos derivar a segunda parte usando a regra da cadeia:
Passo 6
Substituindo na expressão de
:
Passo 7
Podemos simplificar colocando o denominador em evidência:
Passo 8
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, denotada por
. Dessa vez, tratamos
como constante.
Passo 9
Usando a mesma reescrita da função:
Passo 10
Derivando em relação a
:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função
são: