Determine as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções f definidas em um subconjunto aberto de R^3. f(x, y, z) = z * ln(x^2 * y * cos(z))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função . Isso está relacionado ao estudo de cálculo multivariável, onde a gente analisa como a função muda em relação a cada uma das suas variáveis de forma isolada. Para resolver isso, vamos precisar usar as regras de derivação para funções compostas e a derivada do logaritmo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , que é . Para isso, tratamos e como constantes. A função fica:
Vamos aplicar a regra da cadeia. A derivada do logaritmo em relação a é .

Passo 3

Calculando , onde :
Então, a derivada parcial em relação a fica:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , que é . Novamente, tratamos e como constantes. Usamos a mesma técnica da regra da cadeia.
Então, a derivada parcial em relação a é:

Passo 5

Por fim, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , que é . Aqui, tanto quanto são constantes, mas temos que lembrar que também está dentro do logaritmo.
Primeiro, aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:

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