Determine as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções
definidas em um subconjunto aberto de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função
. Isso está relacionado ao estudo de cálculo multivariável, onde a gente analisa como a função muda em relação a cada uma das suas variáveis de forma isolada. Para resolver isso, vamos precisar usar as regras de derivação para funções compostas e a derivada do logaritmo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, que é
. Para isso, tratamos
e
como constantes. A função fica:
Vamos aplicar a regra da cadeia. A derivada do logaritmo
em relação a
é
.
Passo 3
Calculando
, onde
:
Então, a derivada parcial em relação a
fica:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, que é
. Novamente, tratamos
e
como constantes. Usamos a mesma técnica da regra da cadeia.
Então, a derivada parcial em relação a
é:
Passo 5
Por fim, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, que é
. Aqui, tanto
quanto
são constantes, mas temos que lembrar que
também está dentro do logaritmo.
Primeiro, aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função são: