Determine as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções f definidas em um subconjunto aberto de R^3. f(x, y, z) = sen(x + 2y + 3z);

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de derivadas parciais de primeira ordem! A gente tem a função definida em um subconjunto aberto de . Para resolver, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais, que são como derivadas normais, mas focando numa variável de cada vez enquanto mantém as outras constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que é notado como . Como é , a derivada da função seno é o cosseno. Então, derivando com respeito a , temos:

Passo 3

Agora, derivamos o que está dentro do seno em relação a . Como e são constantes quando derivamos em relação a , a derivada de é 1 e as outras partes desaparecem:
Portanto,

Passo 4

Agora, vamos para a derivada parcial em relação a , . Novamente, usamos a cadeia da derivada do seno:

Passo 5

Derivando o interior em relação a , temos que a derivada de é 2, e as outras partes são constantes:
Então,

Passo 6

Por último, calculamos a derivada parcial em relação a , . Usamos a mesma ideia da cadeia:

Passo 7

Derivando o interior em relação a , a derivada de é 3:
Logo,

Resposta

As derivadas parciais de são:

Exercícios relacionados