Determine as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções
definidas em um subconjunto aberto de
.
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de derivadas parciais de primeira ordem! A gente tem a função
definida em um subconjunto aberto de
. Para resolver, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais, que são como derivadas normais, mas focando numa variável de cada vez enquanto mantém as outras constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que é notado como
. Como
é
, a derivada da função seno é o cosseno. Então, derivando com respeito a
, temos:
Passo 3
Agora, derivamos o que está dentro do seno em relação a
. Como
e
são constantes quando derivamos em relação a
, a derivada de
é 1 e as outras partes desaparecem:
Portanto,
Passo 4
Agora, vamos para a derivada parcial em relação a
,
. Novamente, usamos a cadeia da derivada do seno:
Passo 5
Derivando o interior em relação a
, temos que a derivada de
é 2, e as outras partes são constantes:
Então,
Passo 6
Por último, calculamos a derivada parcial em relação a
,
. Usamos a mesma ideia da cadeia:
Passo 7
Derivando o interior em relação a
, a derivada de
é 3:
Logo,
Resposta
As derivadas parciais de
são: