Determine as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções definidas em um subconjunto aberto de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver as derivadas parciais da função . Isso está relacionado ao cálculo de derivadas parciais em funções de duas variáveis. Vamos precisar entender como derivar funções compostas e aplicar a regra do produto.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Para isso, tratamos como uma constante.

Passo 3

A função é um produto de duas funções: e . Vamos usar a regra do produto para derivar:

Passo 4

Calculando (derivada de em relação a ):
Aqui, aplicamos a regra da cadeia: derivamos a potência e multiplicamos pela derivada interna .

Passo 5

Calculando (derivada de em relação a ):
A derivada de em relação a é simplesmente , já que a derivada do expoente em relação a é 1.

Passo 6

Agora, aplicando a regra do produto:

Passo 7

Podemos fatorar para simplificar:

Passo 8

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Aqui, tratamos como uma constante.

Passo 9

Usamos novamente a regra do produto:

Passo 10

Calculando (derivada de em relação a ):
Aqui, a derivada interna .

Passo 11

Calculando (derivada de em relação a ):
A derivada do expoente em relação a é -1.

Passo 12

Aplicando a regra do produto:

Passo 13

Fatorando :

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:

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A sequência de termos é chamada de sequência de Fibonacci.
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