Determine as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções
definidas em um subconjunto aberto de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver as derivadas parciais da função
. Isso está relacionado ao cálculo de derivadas parciais em funções de duas variáveis. Vamos precisar entender como derivar funções compostas e aplicar a regra do produto.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, tratamos
como uma constante.
Passo 3
A função
é um produto de duas funções:
e
. Vamos usar a regra do produto para derivar:
Passo 4
Calculando
(derivada de
em relação a
):
Aqui, aplicamos a regra da cadeia: derivamos a potência e multiplicamos pela derivada interna
.
Passo 5
Calculando
(derivada de
em relação a
):
A derivada de
em relação a
é simplesmente
, já que a derivada do expoente em relação a
é 1.
Passo 6
Agora, aplicando a regra do produto:
Passo 7
Podemos fatorar
para simplificar:
Passo 8
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Aqui, tratamos
como uma constante.
Passo 9
Usamos novamente a regra do produto:
Passo 10
Calculando
(derivada de
em relação a
):
Aqui, a derivada interna
.
Passo 11
Calculando
(derivada de
em relação a
):
A derivada do expoente
em relação a
é -1.
Passo 12
Aplicando a regra do produto:
Passo 13
Fatorando
:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função
são: