A sequência
de termos
é chamada de sequência de Fibonacci.
Seja
. Mostre que
.
Seja
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência chamada de Fibonacci, onde os termos começam assim: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, e assim por diante. O conteúdo principal aqui é sequências numéricas e, mais especificamente, a sequência de Fibonacci. Para resolver esse problema, vamos precisar entender como os termos dessa sequência se relacionam entre si e como trabalhar com razões entre termos consecutivos.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o que é a sequência de Fibonacci. Nessa sequência, cada termo a partir do terceiro é a soma dos dois termos anteriores. Ou seja:
Isso significa que, por exemplo,
,
, e assim por diante.
Passo 3
Agora, vamos definir a razão
entre termos consecutivos da sequência de Fibonacci:
Isso quer dizer que estamos olhando para o quão grande um termo é em relação ao seu antecessor. Por exemplo,
,
, e assim por diante.
Passo 4
Nosso objetivo é mostrar que:
Para isso, vamos começar expressando
usando a definição de
:
Passo 5
Sabemos pela definição da sequência de Fibonacci que:
Substituindo isso na expressão de
:
Passo 6
Vamos separar a fração:
Passo 7
Observe que
é o inverso de
:
Portanto, substituindo na expressão anterior:
Resposta
Demonstramos que:
Exercícios relacionados
Encontre o termo geral de cada sequência.
Expresse
em termos das derivadas parciais de
, sendo
e
.
Determine as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções
definidas em um subconjunto aberto de
.
A sequência
de termos
é chamada de sequência de Fibonacci.
Supondo que a sequência converge para
, mostre que
.
Supondo que a sequência