A sequência de termos é chamada de sequência de Fibonacci.
Seja . Mostre que .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência chamada de Fibonacci, onde os termos começam assim: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, e assim por diante. O conteúdo principal aqui é sequências numéricas e, mais especificamente, a sequência de Fibonacci. Para resolver esse problema, vamos precisar entender como os termos dessa sequência se relacionam entre si e como trabalhar com razões entre termos consecutivos.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o que é a sequência de Fibonacci. Nessa sequência, cada termo a partir do terceiro é a soma dos dois termos anteriores. Ou seja:
Isso significa que, por exemplo, , , e assim por diante.

Passo 3

Agora, vamos definir a razão entre termos consecutivos da sequência de Fibonacci:
Isso quer dizer que estamos olhando para o quão grande um termo é em relação ao seu antecessor. Por exemplo, , , e assim por diante.

Passo 4

Nosso objetivo é mostrar que:
Para isso, vamos começar expressando usando a definição de :

Passo 5

Sabemos pela definição da sequência de Fibonacci que:
Substituindo isso na expressão de :

Passo 6

Vamos separar a fração:

Passo 7

Observe que é o inverso de :
Portanto, substituindo na expressão anterior:

Resposta

Demonstramos que:

Exercícios relacionados

Encontre o termo geral de cada sequência.
Expresse em termos das derivadas parciais de , sendo e .
Determine as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções definidas em um subconjunto aberto de .
A sequência de termos é chamada de sequência de Fibonacci.
Supondo que a sequência converge para , mostre que .