Mostre que:
Passo 1
Vamos lá! A gente tem que mostrar que o limite quando
tende ao infinito de
é igual a zero. Aqui, estamos trabalhando com limites e funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos usar propriedades de funções trigonométricas e limites.
Passo 2
Primeiro, sabemos que a função seno,
, sempre está entre -1 e 1 para qualquer valor de
. Ou seja:
Passo 3
Agora, vamos dividir cada parte dessa desigualdade por
, que é positivo quando
tende ao infinito:
Passo 4
Sabemos que, quando
tende ao infinito,
tende a zero:
Passo 5
Como
também tende a zero quando
vai para o infinito, temos que ambos os limites das extremidades da desigualdade são zero:
Passo 6
Pelo Teorema do Sanduíche (ou Teorema da Aperituras), se uma função está sempre entre duas outras funções que têm o mesmo limite, então essa função também tem esse limite. Assim:
Resposta
O limite
é igual a 0.
Exercícios relacionados
A sequência
de termos
é chamada de sequência de Fibonacci.
Supondo que a sequência converge para
, mostre que
.
Supondo que a sequência
Determine as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções
definidas em um subconjunto aberto de
.
Mostre que:
Mostre que: