Mostre que:

Passo 1

Vamos lá! A gente tem que mostrar que o limite quando tende ao infinito de é igual a zero. Aqui, estamos trabalhando com limites e funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos usar propriedades de funções trigonométricas e limites.

Passo 2

Primeiro, sabemos que a função seno, , sempre está entre -1 e 1 para qualquer valor de . Ou seja:

Passo 3

Agora, vamos dividir cada parte dessa desigualdade por , que é positivo quando tende ao infinito:

Passo 4

Sabemos que, quando tende ao infinito, tende a zero:

Passo 5

Como também tende a zero quando vai para o infinito, temos que ambos os limites das extremidades da desigualdade são zero:

Passo 6

Pelo Teorema do Sanduíche (ou Teorema da Aperituras), se uma função está sempre entre duas outras funções que têm o mesmo limite, então essa função também tem esse limite. Assim:

Resposta

O limite é igual a 0.

Exercícios relacionados

A sequência de termos é chamada de sequência de Fibonacci.
Supondo que a sequência converge para , mostre que .
Determine as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções definidas em um subconjunto aberto de .
Mostre que:
Mostre que: