Mostre que:
lim n infty sen(n^2+1)n=0

Passo 1

Vamos lá! A gente tem que mostrar que o limite quando tende ao infinito de é igual a zero. Aqui, estamos trabalhando com limites e funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos usar propriedades de funções trigonométricas e limites.

Passo 2

Primeiro, sabemos que a função seno, -1 <= sin(n^2 + 1) <= 1 , sempre está entre -1 e 1 para qualquer valor de . Ou seja:

Passo 3

Agora, vamos dividir cada parte dessa desigualdade por -1n <= sin(n^2 + 1)n <= 1n , que é positivo quando tende ao infinito:

Passo 4

Sabemos que, quando limn to infty 1n = 0 tende ao infinito, tende a zero:

Passo 5

Como limn to infty -1n = 0 e limn to infty 1n = 0 também tende a zero quando vai para o infinito, temos que ambos os limites das extremidades da desigualdade são zero:

Passo 6

Pelo Teorema do Sanduíche (ou Teorema da Aperituras), se uma função está sempre entre duas outras funções que têm o mesmo limite, então essa função também tem esse limite. Assim:
limn to infty sin(n^2 + 1)n = 0

Resposta

O limite é igual a 0.

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