A sequência de termos é chamada de sequência de Fibonacci.
Supondo que a sequência converge para , mostre que .

Passo 1

Beleza, vamos analisar o que a questão está pedindo. A gente tem a sequência de Fibonacci, que começa com 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, e assim por diante. A questão quer que a gente mostre que, se a sequência converge para um valor , então esse é igual a . Para resolver isso, vamos precisar entender como a sequência de Fibonacci funciona e usar um pouco de álgebra para encontrar o valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como a sequência de Fibonacci é formada. Cada termo depois dos dois primeiros é a soma dos dois anteriores. Ou seja, temos:
Onde é o termo atual e é o próximo termo da sequência.

Passo 3

Agora, vamos considerar a sequência como a razão entre termos consecutivos da sequência de Fibonacci. Ou seja:
Nosso objetivo é encontrar o valor para o qual converge, ou seja, o valor de .

Passo 4

Assumindo que a sequência converge para , podemos escrever:
Como , podemos substituir na expressão de :

Passo 5

Perceba que é o inverso da razão que estamos considerando:
Como converge para , então converge para . Assim, podemos reescrever a equação:

Passo 6

Agora temos uma equação para resolver:
Vamos multiplicar ambos os lados por para eliminar a fração:

Passo 7

A equação resultante é quadrática:
Para resolver essa equação, vamos usar a fórmula de Bhaskara:

Passo 8

Como estamos lidando com razões entre termos positivos da sequência de Fibonacci, descartamos a solução negativa. Portanto, temos:

Resposta

O valor para o qual a sequência converge é .

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Determine as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções definidas em um subconjunto aberto de .
A sequência de termos é chamada de sequência de Fibonacci.
Seja . Mostre que .
Mostre que:
Mostre que: