A sequência a_n de termos 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... é chamada de sequência de Fibonacci.
Supondo que a sequência f_n converge para L, mostre que L = (1 + raiz(5)) / 2.

Passo 1

Beleza, vamos analisar o que a questão está pedindo. A gente tem a sequência de Fibonacci, que começa com 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, e assim por diante. A questão quer que a gente mostre que, se a sequência f_n converge para um valor L, então esse L é igual a . Para resolver isso, vamos precisar entender como a sequência de Fibonacci funciona e usar um pouco de álgebra para encontrar o valor de L.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como a sequência de Fibonacci é formada. Cada termo depois dos dois primeiros é a soma dos dois anteriores. Ou seja, temos:
Onde a_n é o termo atual e a_{n+1} é o próximo termo da sequência.

Passo 3

Agora, vamos considerar a sequência f_n como a razão entre termos consecutivos da sequência de Fibonacci. Ou seja:
Nosso objetivo é encontrar o valor para o qual converge, ou seja, o valor de .

Passo 4

Assumindo que a sequência f_n converge para L, podemos escrever:
Como , podemos substituir na expressão de L:

Passo 5

Perceba que é o inverso da razão que estamos considerando:
Como converge para L, então converge para . Assim, podemos reescrever a equação:

Passo 6

Agora temos uma equação para resolver:
Vamos multiplicar ambos os lados por L para eliminar a fração:

Passo 7

A equação resultante é quadrática:
Para resolver essa equação, vamos usar a fórmula de Bhaskara:

Passo 8

Como estamos lidando com razões entre termos positivos da sequência de Fibonacci, descartamos a solução negativa. Portanto, temos:

Resposta

O valor para o qual a sequência f_n converge é .

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