A sequência
de termos
é chamada de sequência de Fibonacci.
Supondo que a sequência
converge para
, mostre que
.
Supondo que a sequência
Passo 1
Beleza, vamos analisar o que a questão está pedindo. A gente tem a sequência de Fibonacci, que começa com 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, e assim por diante. A questão quer que a gente mostre que, se a sequência
converge para um valor
, então esse
é igual a
. Para resolver isso, vamos precisar entender como a sequência de Fibonacci funciona e usar um pouco de álgebra para encontrar o valor de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como a sequência de Fibonacci é formada. Cada termo depois dos dois primeiros é a soma dos dois anteriores. Ou seja, temos:
Onde
é o termo atual e
é o próximo termo da sequência.
Passo 3
Agora, vamos considerar a sequência
como a razão entre termos consecutivos da sequência de Fibonacci. Ou seja:
Nosso objetivo é encontrar o valor para o qual
converge, ou seja, o valor de
.
Passo 4
Assumindo que a sequência
converge para
, podemos escrever:
Como
, podemos substituir na expressão de
:
Passo 5
Perceba que
é o inverso da razão que estamos considerando:
Como
converge para
, então
converge para
. Assim, podemos reescrever a equação:
Passo 6
Agora temos uma equação para resolver:
Vamos multiplicar ambos os lados por
para eliminar a fração:
Passo 7
A equação resultante é quadrática:
Para resolver essa equação, vamos usar a fórmula de Bhaskara:
Passo 8
Como estamos lidando com razões entre termos positivos da sequência de Fibonacci, descartamos a solução negativa. Portanto, temos:
Resposta
O valor para o qual a sequência
converge é
.
Exercícios relacionados
Determine as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções
definidas em um subconjunto aberto de
.
A sequência
de termos
é chamada de sequência de Fibonacci.
Seja . Mostre que
.
Seja
Mostre que:
Mostre que: