Determine as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções
definidas em um subconjunto aberto de
.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função
. Isso faz parte do estudo de derivadas parciais, que são usadas para entender como uma função muda em relação a cada uma das suas variáveis, mantendo as outras constantes. Vamos precisar usar regras de derivação, como a regra da cadeia e a regra do quociente.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a derivação. Vamos chamar
, então a função fica:
Passo 3
Agora, para achar a derivada parcial em relação a
,
, vamos usar a regra da cadeia. A derivada da função
é
. Então, precisamos derivar o conteúdo dentro do logaritmo:
Passo 4
Vamos derivar
em relação a
. Usamos a regra do quociente:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar
. Sabemos que
, então:
Passo 6
Substituindo
na expressão de
:
Vamos simplificar isso:
Passo 7
Simplificando o numerador:
Então:
Mas lembrando que
, então:
Portanto:
Passo 8
Agora, voltando à derivada de
:
]
E como
, então:
Portanto:
Passo 9
Agora, vamos encontrar a derivada parcial em relação a
,
. Segue uma lógica similar:
Primeiro, derivamos
em relação a
:
Passo 10
Aplicando a regra da cadeia para
:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
Exercícios relacionados
Seja
, definida por
. Prove que
é uma solução das seguintes equações diferenciais parciais.
;
Determine o gradiente das seguintes funções:
;
Determine o gradiente das seguintes funções:
.
Determine o gradiente das seguintes funções: