Determine as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções definidas em um subconjunto aberto de . .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função . Isso faz parte do estudo de derivadas parciais, que são usadas para entender como uma função muda em relação a cada uma das suas variáveis, mantendo as outras constantes. Vamos precisar usar regras de derivação, como a regra da cadeia e a regra do quociente.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a derivação. Vamos chamar , então a função fica:

Passo 3

Agora, para achar a derivada parcial em relação a , , vamos usar a regra da cadeia. A derivada da função é . Então, precisamos derivar o conteúdo dentro do logaritmo:

Passo 4

Vamos derivar em relação a . Usamos a regra do quociente:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar . Sabemos que , então:

Passo 6

Substituindo na expressão de :
Vamos simplificar isso:

Passo 7

Simplificando o numerador:
Então:
Mas lembrando que , então:
Portanto:

Passo 8

Agora, voltando à derivada de :
]
E como , então:
Portanto:

Passo 9

Agora, vamos encontrar a derivada parcial em relação a , . Segue uma lógica similar:
Primeiro, derivamos em relação a :

Passo 10

Aplicando a regra da cadeia para :

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:

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Seja , definida por . Prove que é uma solução das seguintes equações diferenciais parciais.
;
Determine o gradiente das seguintes funções: ;
Determine o gradiente das seguintes funções: .
Determine o gradiente das seguintes funções: