Seja f: R^2 \ {(0,0)} -> R, definida por f(x, y) = 1 / (x^2 + y^2). Prove que f é uma solução das seguintes equações diferenciais parciais.
5.1 x^2 u_xy + y^2 u_yx = 2/u^2 u_x u_y;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício quer que a gente prove que a função é uma solução de uma certa equação diferencial parcial. A equação que a gente precisa verificar é:
Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função e depois substituir na equação para ver se ela se mantém verdadeira.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem de , ou seja, e .
Começando por :
Agora, :

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem necessárias: e .
Primeiro, :
De forma similar, :

Passo 4

Agora que temos todas as derivadas, vamos substituir na equação diferencial para ver se ela é satisfeita.
Primeiro, o lado esquerdo da equação:
Agora, o lado direito da equação:

Resposta

Como o lado esquerdo é igual ao lado direito , comprovamos que a função satisfaz a equação diferencial parcial dada. Portanto, é uma solução da equação.

Exercícios relacionados