Seja
, definida por
. Prove que
é uma solução das seguintes equações diferenciais parciais.
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício quer que a gente prove que a função
é uma solução de uma certa equação diferencial parcial. A equação que a gente precisa verificar é:
Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
e depois substituir na equação para ver se ela se mantém verdadeira.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem de
, ou seja,
e
.
Começando por
:
Agora,
:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem necessárias:
e
.
Primeiro,
:
De forma similar,
:
Passo 4
Agora que temos todas as derivadas, vamos substituir na equação diferencial para ver se ela é satisfeita.
Primeiro, o lado esquerdo da equação:
Agora, o lado direito da equação:
Resposta
Como o lado esquerdo
é igual ao lado direito
, comprovamos que a função
satisfaz a equação diferencial parcial dada. Portanto,
é uma solução da equação.
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Determine o gradiente das seguintes funções:
;
Determine as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções
definidas em um subconjunto aberto de
.
.
Determine o gradiente das seguintes funções:
.