Seja , definida por . Prove que é uma solução das seguintes equações diferenciais parciais.
;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício quer que a gente prove que a função é uma solução de uma certa equação diferencial parcial. A equação que a gente precisa verificar é:
Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função e depois substituir na equação para ver se ela se mantém verdadeira.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem de , ou seja, e .
Começando por :
Agora, :

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem necessárias: e .
Primeiro, :
De forma similar, :

Passo 4

Agora que temos todas as derivadas, vamos substituir na equação diferencial para ver se ela é satisfeita.
Primeiro, o lado esquerdo da equação:
Agora, o lado direito da equação:

Resposta

Como o lado esquerdo é igual ao lado direito , comprovamos que a função satisfaz a equação diferencial parcial dada. Portanto, é uma solução da equação.

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Determine o gradiente das seguintes funções: ;
Determine as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções definidas em um subconjunto aberto de . .
Determine o gradiente das seguintes funções: .