Determine o gradiente das seguintes funções:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o gradiente da função
. O gradiente é uma ferramenta da Cálculo Vetorial que nos mostra a direção de maior crescimento da função. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a cada variável:
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função
é um vetor que contém todas as suas derivadas parciais. Ou seja,
Então, precisamos encontrar cada uma dessas derivadas.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada parcial de
em relação a
,
. A função é
, onde
. Usamos a regra da cadeia para derivar:
Agora, calculamos
. Então,
Passo 4
Agora, vamos para a derivada parcial em relação a
,
. Novamente, usando a regra da cadeia:
Calculando
. Assim,
Passo 5
Por fim, vamos encontrar a derivada parcial em relação a
,
. Mais uma vez, aplicamos a regra da cadeia:
Calculando
. Então,
Resposta
Portanto, o gradiente da função
é dado por:
Exercícios relacionados
Determine as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções
definidas em um subconjunto aberto de
.
.
Seja
, definida por
. Prove que
é uma solução das seguintes equações diferenciais parciais.
;
Determine o gradiente das seguintes funções:
Seja
, definida por
. Prove que
é uma solução das seguintes equações diferenciais parciais.
.