Determine o gradiente das seguintes funções: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o gradiente da função . O gradiente é uma ferramenta da Cálculo Vetorial que nos mostra a direção de maior crescimento da função. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a cada variável: , e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função é um vetor que contém todas as suas derivadas parciais. Ou seja,
Então, precisamos encontrar cada uma dessas derivadas.

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada parcial de em relação a , . A função é , onde . Usamos a regra da cadeia para derivar:
Agora, calculamos . Então,

Passo 4

Agora, vamos para a derivada parcial em relação a , . Novamente, usando a regra da cadeia:
Calculando . Assim,

Passo 5

Por fim, vamos encontrar a derivada parcial em relação a , . Mais uma vez, aplicamos a regra da cadeia:
Calculando . Então,

Resposta

Portanto, o gradiente da função é dado por:

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Determine as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções definidas em um subconjunto aberto de . .
Seja , definida por . Prove que é uma solução das seguintes equações diferenciais parciais.
;
Determine o gradiente das seguintes funções:
Seja , definida por . Prove que é uma solução das seguintes equações diferenciais parciais.
.