Determine as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções: (a) f: R^2 -> R, definida por f(x, y) = x^2 + y^2 + x^2 sen x y;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinarmos as derivadas parciais de primeira ordem da função . Isso significa que precisamos encontrar como a função muda em relação a e em relação a , mantendo a outra variável constante. Para resolver isso, vamos usar as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial em relação a , ou seja, .
A função é composta por três termos:
Vamos derivar cada termo em relação a :
  • Derivada de em relação a :
  • Derivada de em relação a :
    Como não depende de , a derivada é zero.
  • Derivada de em relação a :
    Aqui usamos a regra do produto, pois temos um produto de e .
    Calculando cada parte:
    Então:
Agora, somando todas as derivadas parciais:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial em relação a , ou seja, .
Mais uma vez, derivamos cada termo da função em relação a :
  • Derivada de em relação a :
    Como não depende de , a derivada é zero.
  • Derivada de em relação a :
  • Derivada de em relação a :
    Novamente, usamos a regra do produto.
    Calculando cada parte:
    Então:
Agora, somando todas as derivadas parciais:
Simplificando:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:

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