Determine as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções: (a)
, definida por
sen
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para determinarmos as derivadas parciais de primeira ordem da função
. Isso significa que precisamos encontrar como a função muda em relação a
e em relação a
, mantendo a outra variável constante. Para resolver isso, vamos usar as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial em relação a
, ou seja,
.
A função
é composta por três termos:
Vamos derivar cada termo em relação a
:
-
Derivada de
em relação a : -
Derivada de
em relação a :
Comonão depende de , a derivada é zero. -
Derivada de
em relação a :
Aqui usamos a regra do produto, pois temos um produto dee . Calculando cada parte:Então:
Agora, somando todas as derivadas parciais:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial em relação a
, ou seja,
.
Mais uma vez, derivamos cada termo da função
em relação a
:
-
Derivada de
em relação a :
Comonão depende de , a derivada é zero. -
Derivada de
em relação a : -
Derivada de
em relação a :
Novamente, usamos a regra do produto.Calculando cada parte:Então:
Agora, somando todas as derivadas parciais:
Simplificando:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função
são:
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as desigualdades abaixo são satisfeitas.
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, definida por
.